已知栯圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的两焦点 $F_1(-1,0), F_2(1,0)$, 且椭圆 $C$ 过 $P\left(-\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
(1) 求栯圆 $C$ 的标准方程;
(2) 设椭圆 $C$ 的左、右顶点分别为 $A, B$, 直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $M, N$ 两点 $(M, N$ 与 $A, B$ 均不重合), 记直线 $A M$ 的舒率为 $k_1$, 直线 $B N$ 的斜害为 $k_2$, 且 $k_1-2 k_2=0$, 设 $\triangle A M N$, $\triangle B M N$ 的面积分别为 $S_1, S_2$, 求 $\left|S_1-S_2\right|$ 的取值范围.