矩阵与行列式专项训练

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一、解答题（共 10 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 计算行列式

| \begin{array}{cccc} x + a & b & c & d \\ a & x + b & c & d \\ a & b & x + c & d \\ a & b & c & x + d \end{array} |

。

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2. 计算

n

阶行列式

D_{n} = | \begin{array}{cccc} x_{1} + 3 & x_{2} & \dots & x_{n} \\ x_{1} & x_{2} + 3 & \dots & x_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ x_{1} & x_{2} & \dots & x_{n} + 3 \end{array} |

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3. 试计算行列式

| \begin{array}{cccc} 3 & 1 & - 1 & 2 \\ - 5 & 1 & 3 & - 4 \\ 2 & 0 & 1 & - 1 \\ 1 & - 5 & 3 & - 3 \end{array} |

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4. 设矩阵

A = (\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array})

, 求矩阵

B

使其满足矩阵方程

A B = A + 2 B

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5. 计算行列式

| \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 1 & 2 \\ 1 & 5 & 3 & - 4 \\ 0 & 4 & 1 & - 1 \\ - 5 & 1 & 3 & - 6 \end{array} |

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6. 计算四阶行列式

| \begin{array}{cccc} 3 & - 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 0 & 5 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \end{array} |

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7. 行列式

D = | \begin{array}{cccc} 1 & - 1 & 1 & x - 1 \\ 1 & - 1 & x + 1 & - 1 \\ 1 & x - 1 & 1 & - 1 \\ x + 1 & - 1 & 1 & - 1 \end{array} | =

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8. 计算行列式

| \begin{array}{cccc} 3 & 1 & - 1 & 2 \\ - 5 & 1 & 3 & - 4 \\ 2 & 0 & 1 & - 1 \\ 1 & - 5 & 3 & - 3 \end{array} |

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9. 行列式

D = | \begin{array}{ccccc} a & b & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & b & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a & b \\ b & 0 & 0 & 0 & a \end{array} |

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10. 算

n

阶行列式

D_{n} = | \begin{array}{cccc} 1 + a_{1} & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 1 + a_{2} & \dots & 1 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 1 & 1 & \dots & 1 + a_{n} \end{array} |

其中

a_{1} a_{2} \dots a_{n} \neq 0

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