单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
用 “ $A \rightarrow B$ ” 表示概念 $A$ 可以推导出概念 $B$, 函数 $y=f(x)$ 的可导、可微、连续、可积在某闭区间上的推导关系正确的是
$\text{A.}$ 可导 $\rightarrow$ 可微 $\rightarrow$ 连续 $\rightarrow$ 可积
$\text{B.}$ 连续 $\rightarrow$ 可导 $\rightarrow$ 可微 $\rightarrow$ 可积
$\text{C.}$ 可积 $\rightarrow$ 连续 $\rightarrow$ 可导 $\rightarrow$ 可微
$\text{D.}$ 可积 $\rightarrow$ 可微 $\rightarrow$ 可导 $\rightarrow$ 连续
函数 $f(x)=\frac{1}{x} \ln |1+x|$ 有
$\text{A.}$ 两个可去间断点
$\text{B.}$ 两个无穷间断点
$\text{C.}$ 一个可去间断点和一个跳跃间断点
$\text{D.}$ 一个可去间断点和一个无穷间断点
下列广义积分中, 发散的是
$\text{A.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$
$\text{B.}$ $\int_{-1}^1 \frac{1}{\sin x} \mathrm{~d} x$
$\text{C.}$ $\int_2^{+\infty} \frac{1}{x \ln ^2 x} \mathrm{~d} x$
$\text{D.}$ $\int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-x^2} \mathrm{~d} x$
函数 $y=x \arctan x$ 在
$\text{A.}$ $(-\infty,+\infty)$ 内处处是凸的
$\text{B.}$ $(-\infty,+\infty)$ 内处处是凹的
$\text{C.}$ $(-\infty, 0)$ 内为凸的, $(0,+\infty)$ 内为凹的
$\text{D.}$ $(-\infty, 0)$ 内为凹的, $(0,+\infty)$ 内为凸的
已知 $f^{\prime}(x)=2^x(x \in R)$, 则 $f(x)$ 在 $R$ 上的一个原函数为
$\text{A.}$ $\frac{2^x}{\ln 2}$
$\text{B.}$ $\frac{2^x}{\ln ^2 2}$
$\text{C.}$ $2^x \ln 2$
$\text{D.}$ $2^x$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x-\sin x}{x^3}, & x \neq 0 \\ a, & x=0\end{array}\right.$, 则当 $a=$时, $f(x)$ 在点 $x=0$ 处连续.
设曲线 $y=f(x)$ 过点 $(0,0)$, 且当 $x$ 在点 $x=0$ 处取得增量 $\Delta x$ 时, 相应函数的增量为 $\Delta y=$ $3 \Delta x+o(\Delta x)$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n f\left(\frac{2}{n}\right)=$
设 $y=\sin ^2x$, 则 $y^{(8)}(0)=$ ________ .
曲线 $y=x \ln \left(\mathrm{e}+\frac{1}{x}\right)(x>0)$ 的渐近线方程为
曲线 $y=\ln \cos x\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}\right)$ 的弧长为
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{1}{n^2+\pi}+\frac{1}{n^2+2 \pi}+\cdots+\frac{1}{n^2+n \pi}\right)$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 \sin x-x^2 \cos \frac{1}{x}}{\left(e^{-x}-1\right)(1+\cos x)}$.
求 $y=x^{\sin x}(x>0)$ 的导数 $y^{\prime}(x)$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^2}\left(e^{t^2}-1\right) \mathrm{d} t}{\ln \left(1+x^6\right)}$.
求不定积分 $\int \sin \sqrt{x} \mathrm{~d} x$.
计算定积分 $\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(\frac{x \sin ^2 x}{1+\cos ^2 x}+\frac{|x|}{\sqrt{1-x^2}}\right) \mathrm{d} x$.
在曲线 $y=x^2(x \geq 0)$ 上点 $A$ 处作切线, 该切线与曲线以及 $x$ 轴所围图形的面积为 $\frac{1}{12}$.
(1) 求点 $A$ 的坐标和切线方程;
(2) 求由上述平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积.
设 $a_1>0, a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}, n=1,2, \cdots$, 证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{a_n}=0$.
对函数 $y=\frac{x+1}{x^2}$ 填写下表:
证明当 $x>0$ 时, $\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) < \sqrt{1+x^2} \arctan x$.