填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
(1) $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+3}{x+2}\right)^{2 x-1}=$
设 $z=f\left(x^2-y^2, x y\right)$, 且 $f(u, v)$ 有连续的二阶偏导数,则 $\frac{\partial z^2}{\partial x \partial y}=$
设曲线 $y=\ln (1+a x)+1$ 与曲线 $y=2 x y^3+b$ 在 $(0,1)$ 处相切,则 $a+b=$
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $y=1+\arctan (x y)$ 所决定, 则 $y^{\prime}(0)=$
计算 $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_x^{\sqrt{x}} \frac{\cos y}{y} \mathrm{~d} y=$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设曲线 $y=3 a x^2+2 b x+\ln c$ 经过 $(0,0)$ 点, 且当 $0 \leqslant x \leqslant 1$ 时 $y \geqslant 0$. 设该曲线与直线 $x=1, x$ 轴所围图形的平面图形 $D$ 的面积为 1 . 试求常数 $a, b, c$ 的值, 使得 $D$ 绕 $x$ 轴一周后, 所得旋转体的体积最小.
解方程 $\left(x^2+y^2+3\right) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=2 x\left(2 y-\frac{x^2}{y}\right) $
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2 n}}{n(2 n-1)}$ 的收敛域及和函数.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导且 $f(0)>0$, $f(1)>0, \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=0$. 证明:
(1) $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上至少有两个零点;
(2) 在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$, 使得 $f^{\prime}(\xi)+3 f^3(\xi)=0$.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有连续的导数且 $f(0)=0$. 求证:
$\int_0^1 f^2(x) \mathrm{d} x \leqslant 4 \int_0^1(1-x)^2\left|f^{\prime}(x)\right|^2 \mathrm{~d} x,$
并求使上式成为等式的 $f(x)$.