填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $a, b$ 为常数, 求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x^2}{(x-a)(x-b)}\right)^x=$
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}\left(\sqrt[3]{n^2}+\sqrt[3]{2 n^2}+\cdots+\sqrt[3]{n \cdot n^2}\right)=$
抛物线 $y=x^2-x$ 在点 $(1,0)$ 处的曲率是:
已知 $e^{-x}$ 是 $f(x)$ 的一个原函数, 则 $\int x^2 f(\ln x) d x=$
曲线段 $\left\{\begin{array}{l}x=t^3+1 \\ y=\frac{3}{2} t^2-1\end{array}(0 \leq t \leq 1)\right.$ 的弧长是:
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+x^2, & x < 0 \\ e^x, & x \geq 0\end{array}\right.$, 则 $\int_1^3 f(x-2) d x=$
已知二阶常系数齐次线性微分方程的一个特解为 $y=x e^x$, 则该方程为:
设 $y=y(x)$ 是由方程 $x+y=\arctan (x-y)$ 所确定的隐函数, 求导数 $\frac{d y}{d x}$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(x)=\frac{x^3}{(1+x)^2}+3$, 请列表给出: 函数 $f(x)$ 的增减区间、凹凸区间、极值点以及图像的拐点; 并给出函数 $f(x)$ 的所有渐近线.
求一组使得极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^2}\left(\sqrt{1+t^4}-1\right) d t}{\ln \left(1-x^\alpha\right)}=\beta \neq 0,(\alpha, \beta$ 为实数) 成立的 $\alpha, \beta$ 的值.
求函数 $f(x)=\max \left\{1, x^2\right\}$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 上的一个原函数 $F(x)$,使得 $F(0)=1$.
计算定积分 $\int_0^\pi \sqrt{\sin x-\sin ^3 x} d x$.
已知函数 $f(x)$ 连续, 请讨论 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x$ 与 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) d x$ 的大小关系, 并计算定积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\ln (1+\sqrt{\sin x})-\ln (1+\sqrt{\cos x})+\sin ^3 x}{2} d x$.
函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有一阶连续导数, 且对任意的 $x \in(0,+\infty)$满足 $x \int_0^1 f(t x) d t=2 \int_0^x f(t) d t+x f(x)+x^3$, 且 $f(1)=0$, 求 $f(x)$.
求由平面曲线 $y=x \sin x, y=x,\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right)$ 所围成图形的面积, 及此图形绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积。
水平放置着一根长为 $L$, 密度为 $\rho$ 的均匀细棒, 在其左端的垂线上与棒相距 $b$ 处有一质量为 $m$ 的质点, 求棒对质点的引力沿 $x$ 轴方向的分力 (设引力常数为 $k$ ).
证明: 若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续, 则在开区间 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$, 使 $\int_a^b f(x) d x=f(\xi)(b-a)$.