解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-\left(A+B x+C x^2\right)}{x^3}=D$ ，求常数 $A, B, C, D$.
设 $f(x)=\arctan \frac{1-x}{1+x}$ ，求 $f^{(2019)}(0)$.
设 $f(x)$ 是 $[a, b]$ 上连续可导的函数， $f(a)=f(b)=0$.
证明:
$$
\int_a^b|f(x)| \mathrm{d} x \leq \frac{(b-a)^2}{4} \max _{a \leq x \leq b}\left|f^{\prime}(x)\right| .
$$
计算不定积分 $\int \frac{x \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}{\left(1-x^2\right)^2} \mathrm{~d} x$.
计算积分 $\int_0^1 x^m(\ln x)^n \mathrm{~d} x$ ，其中 $m, n$ 为自然数.
设函数 $f(x, y)$ 在区域 $D: x^2+y^2 \leq 1$ 上有二阶连续 偏导数，且
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=\mathrm{e}^{-\left(x^2+y^2\right)} .
$$
计算 $\iint_D\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
计算三重积分 $I=\iiint_{\Omega} \frac{\mathrm{d} V}{\left(1+x^2+y^2+z^2\right)^2}$ ，其中 $\Omega$ 为 $0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1,0 \leq z \leq 1$.