单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶方阵，将 $\boldsymbol{A}$ 的第 1 列与第 2 列交换得 $\boldsymbol{B}$ ，再把 $\boldsymbol{B}$ 的第 2 列加到第 3 列得 $\boldsymbol{C}$ ，则满足 $\boldsymbol{A Q}=\boldsymbol{C}$ 的可逆矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 为 ．
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
设3阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a\end{array}\right)$ ，若 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵的秩等于 1 ，则必有
$\text{A.}$ $a=b$ 或 $a+2 b=0$
$\text{B.}$ $a=b$ 或 $a+2 b \neq 0$
$\text{C.}$ $a \neq b$ 且 $a+2 b=0$
$\text{D.}$ $a \neq b$ 且 $a+2 b \neq 0$
设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 均为 $n$ 维向量，下列结论不正确的是 ．
$\text{A.}$ 若对于任意一组不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_1$ ，都有 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_s \boldsymbol{\alpha}_s \neq \mathbf{0}$ ，则 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性无关．
$\text{B.}$ 若 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_s$ ，有 $k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_s \alpha_s=\mathbf{0}$.
$\text{C.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 $s$ ．
$\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关．
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）。
$\text{A.}$ $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3-\alpha_1$ ．
$\text{B.}$ $a_1+a_2, a_2+a_3, a_1+2 a_2+a_3$.
$\text{C.}$ $\alpha_1+2 \alpha_2, 2 \alpha_2+3 \alpha_3, 3 \alpha_3+\alpha_1$ ．
$\text{D.}$ $a_1+a_2+a_3, 2 a_1-3 a_2+2 a_3, 3 a_1+5 a_2-5 a_3$ ．
设 $\boldsymbol{A}_{m \times n}, \boldsymbol{B}_{n \times s}$ 为满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ 的任意两个非零矩阵，则必有
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性相关， $\boldsymbol{B}$ 的行向量组线性相关．
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性相关， $\boldsymbol{B}$ 的列向量组线性相关．
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}$ 的行向量组线性相关， $\boldsymbol{B}$ 的行向量组线性相关．
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}$ 的行向量组线性相关， $\boldsymbol{B}$ 的列向量组线性相关．
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 可由向量组 $I I: \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 线性表示。下列命题正确的是（）
$\text{A.}$ 若向量组 $I$ 线性无关，则 $r \leq s$ ．
$\text{B.}$ 若向量组 $I$ 线性相关，则 $r>s$ ．
$\text{C.}$ 若向量组 $I I$ 线性无关，则 $r \leq s$ ．
$\text{D.}$ 若向量组 $I I$ 线性相关，则 $r>s$ ．
填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $M_{i j}, A_j$ 分别表示 $D=\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 1 \\ -2 & 4 & 3\end{array}\right|$ 的余子式和代数余子式，则 $M_{22}+A_{23}=$
设 $D=\left|\begin{array}{lll}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right|=M \neq 0$ ，则 $\left|\begin{array}{lll}a_1-2 c_1 & -b_1+c_1 & b_1+3 c_1 \\ a_2-2 c_2 & -b_2+c_2 & b_2+3 c_2 \\ a_3-2 c_3 & -b_3+c_3 & b_3+3 c_3\end{array}\right|=$
$n$ 阶行列式 $D_n=\left|\begin{array}{cccc}x & a & \cdots & a \\ a & x & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & a & \cdots & x\end{array}\right|(x \neq a)=$
设 $\boldsymbol{\alpha}=\left[\begin{array}{c}2 \\ 1 \\ -3\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 4\end{array}\right], \boldsymbol{A}=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^T$ ，则 $\boldsymbol{A}^{100}=$
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶矩阵，且 $|\boldsymbol{A}|=2,|\boldsymbol{B}|=-3$ ．则 $\left|\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}^*-\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{B}^{-1}\right|$ 的值为
$\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，矩阵 $\boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^*=-\boldsymbol{E}$ ，则 $\boldsymbol{B}=$
设矩阵 $\boldsymbol{A}_{3 \times 3}, \boldsymbol{B}_{2 \times 2}, \boldsymbol{C}_{3 \times 2}$ 满足 $|\boldsymbol{A}|=2,|\boldsymbol{B}|=3$ ，则 $\left|\begin{array}{cc}-\boldsymbol{A}^* & \boldsymbol{A} \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{O} & 2 \boldsymbol{B}^{-1}\end{array}\right|=$
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}a & -1 & -1 \\ -1 & a & -1 \\ -1 & -1 & a\end{array}\right)$ 与 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$ 等价，则 $a=$
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $4 \times 3$ 矩阵，且 $r(\boldsymbol{A})=2$ ，而 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3\end{array}\right)$ ，则 $r(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})=$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算行列式 $D=\left|\begin{array}{cccc}2 & 1 & 4 & -1 \\ 3 & -1 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & 3 & -2 \\ 5 & 0 & 6 & -2\end{array}\right|$ ．
已知矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}+3 \boldsymbol{E})=\boldsymbol{E}$ ，证明： $\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}$ 可逆，并求其逆．
已知 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta, \gamma$ 均是 4 维列向量，又 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta\right), B=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \gamma\right)$ ，若 $|\boldsymbol{A}|=3,|\boldsymbol{B}|=2$ ，求 $|\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{B}|$ ．
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right)$ ，矩阵 $\boldsymbol{X}$ 满足 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{X}=\boldsymbol{A}^{-1}+2 \boldsymbol{X}$ ，其中 $\boldsymbol{A}^*$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，求矩阵 $\boldsymbol{X}$ ．
设 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{c}1 \\ a+2 \\ -3 a\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{c}-1 \\ -b-2 \\ a+2 b\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 3 \\ -3\end{array}\right)$ ，试讨论当 $a, b$ 为何值时，
（I） $\boldsymbol{\beta}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示：
（II） $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 唯一地线性表示；
（III） $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示，但表示式不唯一。