单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内单调有界, $\left\{x_n\right\}$ 为数列, 下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 收敛, 则 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛
$\text{B.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 单调，则 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛
$\text{C.}$ 若 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛, 则 $\left\{x_n\right\}$ 收敛.
$\text{D.}$ 若 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 单调, 则 $\left\{x_n\right\}$ 收敛.
函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^n+2}{x^n+1}$ 的间断点及类型是
$\text{A.}$ $x=1$ 是第一类间断点, $x=-1$ 是第二类间断点
$\text{B.}$ $x=1$ 是第二类间断点, $x=-1$ 是第一类间断点
$\text{C.}$ $x=\pm 1$ 均是第一类间断点
$\text{D.}$ $x=\pm 1$ 均是第二类间断点
当 $x \rightarrow 0^{+}$时, 与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是
$\text{A.}$ $1-\mathrm{e}^{\sqrt{x}}$.
$\text{B.}$ $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$.
$\text{C.}$ $\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$.
$\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{x}$.
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续, 下列命题错误的是
$\text{A.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在, 则 $f(0)=0$.
$\text{B.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)+f(-x)}{x}$ 存在, 则 $f(0)=0$.
$\text{C.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在, 则 $f^{\prime}(0)$ 存在.
$\text{D.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{x}$ 存在, 则 $f^{\prime}(0)$ 存在.
曲线 $y=x \ln \left(\mathrm{e}+\frac{1}{x}\right) \quad(x>0)$ 的渐近线条数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $F(x)=\int_x^{x+2 \pi} \mathrm{e}^{\sin t} \sin t \mathrm{~d} t$, 则 $F(x)$
$\text{A.}$ 为正常数
$\text{B.}$ 为负常数
$\text{C.}$ 恒为零.
$\text{D.}$ 不为常数
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\arctan t \\ y=\ln \sqrt{1+t^2}\end{array}\right.$ 对应于 $t=1$ 处的法线方程为
曲线 $y=x \sin x+2 \cos x\left(-\frac{\pi}{2} < x < 2 \pi\right)$ 的拐点是
曲线 $y=\ln \cos x\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{6}\right)$ 的弧长为
$y=2^x$ 的麦克劳林公式中 $x^n$ 项的系数是
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{a x^2+x-3}{x-1}=b$, 求常数 $a, b$ 的值.
设 $f(x)$ 为连续函数, 且满足 $f(x)=x^2-x \cdot f(2)+2 \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$, 求 $f(x)$.
求极限 $l=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{n+i}$.
计算定积分 $I=\int_0^1 x^3 \sqrt{1-x^2} \mathrm{~d} x$.
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\lambda e^{-\lambda x}, & x>0, \\ 0, & x \leq 0\end{array}, \lambda>0\right.$, 求 $\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$.
求微分方程 $x y^{\prime}+y-\mathrm{e}^x=0, y(2)=1$ 的特解.
已知 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续, $f(x)=(x+1)^2+2 \int_0^x f(t) \mathrm{d} t$, 求 $f^{(n)}(0)$ 的值 $(n \geq 2)$
设抛物线 $y=a x^2+b x+c$ 过原点, 当 $0 \leq x \leq 1$ 时, $y \geq 0$, 又该抛物线与直线 $x=1$ 及 $x$ 轴 围成平面图形的面积为 $\frac{1}{3}$, 求 $a, b, c$ 使该图形绕 $x$ 轴旋转一周而成的旋转体体积 $\mathrm{V}$ 最小
证明方程 $\ln x=\frac{x}{\mathrm{e}}-2021$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内只有两个不同的实根.
设 $f^{\prime \prime}(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续且 $\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq M, f(1)=0$, 证明: $\left|\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x\right| \leq \frac{M}{3}$.