单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0$ 时，下列无穷小量中与 $x$ 等价的无穷小量是
$\text{A.}$ $\ln (1+2 x)$
$\text{B.}$ $1-\cos x$
$\text{C.}$ $e^x-1$
$\text{D.}$ $\sqrt{1+x}-1$
＂ $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)=0$＂是 $y=f(x)$ 的图形在 $x=x_0$ 处有拐点的
$\text{A.}$ 必要条件，但不是充分条件
$\text{B.}$ 充分条件，但不是必要条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 既非必要条件也非充分条件
$f^{\prime}\left(x_0\right)=0, f^{\prime \prime}\left(x_0\right)>0$ 是函数 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处取得极小值的一个
$\text{A.}$ 必要条件，但不是充分条件
$\text{B.}$ 充分条件，但不是必要条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 无关条件
已知 $f(x)$ 具有任意阶导数，且 $f^{\prime}(x)=[f(x)]^2$ ，则当 $n$ 为大于 2 的正整数时， $f(x)$ 的 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(x)= $
$\text{A.}$ $n[f(x)]^{n+1}$
$\text{B.}$ $n![f(x)]^{2 n}$
$\text{C.}$ $n[f(x)]^{2 x}$
$\text{D.}$ $n![f(x)]^{n+1}$
下列等式中，正确的是
$\text{A.}$ $\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{x}{\min x}}=1$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{\sin x}{x}\right)^{-\frac{\operatorname{mix}}{x}}=1$
$\text{C.}$ $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{\sin x}{x}\right)^{-\frac{x}{\sin x}}=e$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{\sin x}{x}}=e$
已知函数 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处连续，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}=-2$ ，则
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极小值点
$\text{B.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点
$\text{C.}$ $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{D.}$ $(0,-2)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x \sin \frac{1}{x} & x \neq 0 \\ 0 & x=0\end{array}\right.$ ，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 连续，但不可导
$\text{B.}$ 间断
$\text{C.}$ 可导，且 $\boldsymbol{f}^{\prime}(\boldsymbol{0})=\mathbf{0}$
$\text{D.}$ 可导，且 $\boldsymbol{f}^{\prime}(\boldsymbol{0})=1$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}} & x \neq 0 \\ 1 & x=0\end{array}\right.$ ，则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的一个
$\text{A.}$ 跣跃间断点
$\text{B.}$ 可去间断点
$\text{C.}$ 第二类间断点
$\text{D.}$ 连续点
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设曲线 $y=f(x)$ 由方程 $x^2+y^2=1$ 确定，则该曲线在点 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 处的切线方程为 ；法线方程为
已知函数 $y=x(x-1)^2(x+2)^3$ ，则 $y^{(6)}=; y^{(7)}=$
设 $y=x^2 \cos \frac{1}{x}$ ，则 $d y=$
已知点 $(1,4)$ 是曲线 $y=a x^3+b x^2$ 的拐点，则 $a= ; b=$
已知 $\left.\lim _{x \rightarrow( } \frac{x^2+1}{x+1}-x+b\right)=2$ ，则常数 $b=$
如果函数 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{3-x}}+\lg (x-2)$ ，则函数 $g(x)=f\left(x+\frac{1}{3}\right)+f\left(x-\frac{1}{3}\right)$ 的定义域是
已知生产某种商品 $x$ 个单位的利洅是 $L(x)=5000+x-0.00001 x^2$（元），则生产 ()个单位时，利润最大。
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{4 x}}{\sin 3 x}$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x-\min }-1}{\sqrt{1+x^3}-1}$
$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x-\frac{1}{e^{\frac{1}{x}}-1}\right)$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}a^x+b & x \leq 0 \\ \sin a x & x>0\end{array}\right.$ ，问 $a, b$ 为何值时，$f(x)$ 可导，并求其导函数。
设 $z=f(x)$ 可导，且 $y=f\left(e^x\right) e^{f(x)}+x^{\operatorname{mix}}$ ，求 $y^{\prime}$
由方程 $\ln \sqrt{x^2+y^2}=\arctan \frac{x}{y}$ 确定的函数 $y=f(x)$ 可导，求 $\frac{d y}{d x}$ 和 $y^{\prime \prime}$ 及 $y^{\prime \prime} \mid \vec{z}$
求函数 $y=\ln \left(1+x^2\right)$ 的单调区间，极值，凹凸区间和拐点。
要设计一个容积为 $20 \pi$ 立方米的圆柱形封闭容器。已知上底材料每平方米的造价是侧面材料单位面积造价的一半，而侧面材料单位面积造价又是下底面单位面积造价的一半。问应怎样设计才能使容器的总造价最低？
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明：当 $k>0$ 时，方程 $4 x^6+x^2-k=0$ 仅有两个不同的实根。