填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
常微分方程 $y^{\prime}=1+2 x+y^2+2 x y^2$ 的通解为
常微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=2$ 的通解为
$\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+3 k}=$
$\int_0^2|1-x| \mathrm{d} x=$
设 $f(x)=\sin \left(x^3\right)$ ，则 $f^{(15)}(0)=$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{x^2}^{x^3} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t=$
$\int_0^\pi x(\sin x)^2 \mathrm{~d} x=$
常微分方程 $y^{\prime}+y=\mathrm{e}^{-x}$ 满足 $y(0)=0$ 的解 $y=y(x)$ 的拐点的横坐标为
曲线段 $y=2 x^{\frac{3}{2}}(0 \leq x \leq 1)$ 的弧长为
设当 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{3}}-\mathrm{e}^{\frac{x^2}{3}}$ 为 $p$ 阶无穷小，则 $p=$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
讨论 $p$ 取何值时，广义积分 $\int_0^{+\infty} \frac{x^p \ln x}{\left(1+x^2\right)^2} \mathrm{~d} x$ 收敛。
求数列 $\left\{n^{1 / n}\right\}(n=1,2,3$,$) 的最大项的值
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}, & x \neq 0 ; \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ 讨论函数 $f(x)$ 的连续性，并求 $f(x)$ 的单调区间、极值点与极值、凸性区间、拐点和渐近线。
设曲线段 $\Gamma$ 为圆心在点 $(0,1)$ 的单位圆周位于正方形 $0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1$ 的部分，平面区域 $D$ 为由 $\Gamma, x$ 轴以及直线 $x=1$围成的有界区域。
（I）求区域 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所产生的旋转体体积；
（II）求曲线段 $\Gamma$ 绕 $x$ 轴旋转一周所产生的旋转面面积。
求常微分方程的初值问题 $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1+\left(y^{\prime}\right)^2}=(1-x) y^{\prime \prime}, \\ y(0)=0, \\ y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.$ 的解 $(x < 1)$ 。
证明题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f \in C(0,+\infty)$ ，并且 $\forall a>0, b>1$ ，都有积分值 $\int_a^{a b} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $a$ 无关，求证：存在常数 $C$ ，使得 $f(x)=\frac{C}{x}, x \in(0,+\infty)$ 。
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上非负连续，且满足 $(f(x))^2 \leq 1+2 \int_0^x f(t) \mathrm{d} t, x \in[0,1]$ ，证明： $f(x) \leq 1+x, x \in[0,1]$.
设 $p(x)=x^n+a_{n-1} x^{n-1}+...+a_1 x+a_0$ 为实系数 $n$ 次多项式。若 $p(x) \geq 0$ ， $x \in(-\infty,+\infty)$ ，证明：$p(x)+p^{\prime}(x)+...+p^{(n)}(x) \geq 0, x \in(-\infty,+\infty)$ ．
这里 $p^{\prime}(x), p^{\prime \prime}(x), ~ p^{(n)}(x)$ 表示 $p(x)$ 的一阶，二阶，以及 $n$ 阶导数。
设 $h>0, f(x)$ 为闭区间 $[-h, h]$ 上的无穷可导函数，且 $\forall x \in[0, h]$ ，以及任意的非负整数 $n$ ，都有 $f^{(n)}(x) \geq 0$ 。记 $r_n(x)=\frac{1}{n!} \int_0^x(x-t)^n f^{(n+1)}(t) \mathrm{d} t$ ，求证：$\forall x \in(0, h)$ ，均有 $\lim _{n \rightarrow+\infty} r_n(x)=0$ 。