单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A, \mathrm{~B}$ 都是 n 阶对称矩阵，则下面结论中不正确的是
$\text{A.}$ $A+B$ 也是对称矩阵
$\text{B.}$ $A^m+B^m$ （其中 $m$ 是正整数）也是对称矩阵
$\text{C.}$ $B A^T+A B^T$ 也是对称矩阵
$\text{D.}$ $A B$ 也是对称矩阵
行列式 $D=\left|\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 4 & -8 \\ 1 & 5 & 25 & 125 \\ 1 & -3 & 9 & -27\end{array}\right|$ 的值是 $(\quad)$
$\text{A.}$ 34992
$\text{B.}$ 2688
$\text{C.}$ -34992
$\text{D.}$ 81
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $n \times m$ 矩阵，则（）
$\text{A.}$ 当 $m>n$ 时，必有行列式 $|A B|=0$
$\text{B.}$ 当 $m>n$ 时，必有行列式 $|A B| \neq 0$
$\text{C.}$ 当 $m < n$ 时，必有行列式 $|A B|=0$
$\text{D.}$ 当 $m < n$ 时，必有行列式 $|A B| \neq 0$
$n$ 阶矩阵 $A$ 与对角矩阵相似的充分必要条件是
$\text{A.}$ $A$ 是对称矩阵
$\text{B.}$ $A$ 有 n 个线性无关的特征向量
$\text{C.}$ $A$ 有 n 个互不相等的特征值
$\text{D.}$ $A$ 有 n 个互不相等的特征向量
设向量组I：$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 可由向量组II：$\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t$ 线性表示。则下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若 ${s}>{t}$ ，则向量组 I 一定线性相关
$\text{B.}$ 若 ${s} \leq {t}$ ，则向量组 I 一定线性无关
$\text{C.}$ 若 $s>t$ ，则向量组 II 一定线性相关
$\text{D.}$ 若 $s \leq t$ ，则向量组 II 一定线性无关
设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，则下列结论中错误的是（ ）
$\text{A.}$ 若 $A$ 可逆，则 $A$ 的全部特征值都不等于 0
$\text{B.}$ 若 $A$ 存在对应特征值 $\lambda$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量，则 $A=\lambda E$
$\text{C.}$ 若 $\lambda_0$ 是 $A$ 的特征值，方程 $\left(\lambda_0 E-A\right) X=0$ 的全部解就是对应 $\lambda_0$ 的全部特征向量
$\text{D.}$ $A$ 与 $A^T$ 有相同的特征值
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设行列式 $D=\left|\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & -1 & 4 & 1 \\ 3 & 1 & 2 & 2 \\ -1 & 3 & 1 & 4 \end{array}\right|, ~ D$ 的第$i$行第 $j$ 列元素的代数余子式为 $A_{ij}$ ，则
$3 A_{14}+A_{24}+6 A_{34}+2 A_{44}=$
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
6 & 2 & 0 \\
12 & 6 & 3
\end{array}\right)$ 则 $|A| A^{-1}$
已知向量组 $\alpha_1=(1,2,-1), \alpha_2=(1,-1,2), \alpha_3=(1,5,-4)$ ，向量组的秩是
在空间直角坐标系中，$y o z$ 面上的曲线 $y^2=4 z$ 绕 $z$ 坐标轴旋转形成的旋转面的方程是
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2-x_2^2+x_3^2+2 x_1 x_2+4 x_1 x_3$ 的秩、正惯性指数、负惯性指数依次是
设 4 阶方阵 A 满足条件 $|5 E+A|=0, A \cdot A^T=2 E,|A| < 0$ ，其中 $E$ 是 4 阶单位矩阵．则 $A$ 的伴随矩阵 $A^*$ 的一个特征值是
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算
$$
D=\left|\begin{array}{cccccc}
4 & 3 & 3 & \cdots & 3 & 3 \\
3 & 5 & 3 & \cdots & 3 & 3 \\
3 & 3 & 6 & \cdots & 3 & 3 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
3 & 3 & 3 & \cdots & n+2 & 3 \\
3 & 3 & 3 & \cdots & 3 & n+3
\end{array}\right|
$$
（1）已知直线 $l_1$ 经过点 $\mathrm{P}(1,2,3)$ 且与直线 $l_2:\left\{\begin{array}{l}3 x+2 y-z+1=0 \\ 2 x-y+4 z-2=0\end{array}\right.$平行．求直线 $l_1$ 的对称式方程。
（2）求平行于平面 $2 x-2 y-z+3=0$ 且与其距离为 3 的平面方程。
② $a, b$ 为何值时，线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{r}
x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=a \\
3 x_1+2 x_2+x_3+x_4-3 x_5=0 \\
x_2+2 x_3+2 x_4+6 x_5=3 \\
5 x_1+4 x_2+3 x_3+3 x_4-b x_5=2
\end{array}\right.
$$
有解？何时无解？有解时求出解。
设 $R^3$ 中，由第一组基 $\alpha_1=(7,-2,-5)^{\mathrm{T}}, \alpha_2=(-19,5,14)^T, \alpha_3=(-6,3,3)^T$到第二组基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 的过渡矩阵是 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right)$ ．
（1）求第二组基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$
（2）若向量 $\eta$ 在第二组基下的坐标是 $(-1,-1,1)$ ，求 $\eta$ 在第一组基下的坐标．
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & -2 \\ 2 & -2 & -1\end{array}\right)$ ．
（1）求出 $A$ 的所有特征值。
（2）求正交矩阵 $T$ ，使得 $T^{-1} A T$ 为对角矩阵，并写出该对角矩阵。
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 n 阶实对称矩阵 $A$ 满足 $A^3-4 A^2+5 A-2 E=0$ ，其中 $E$ 是单位矩阵。求证矩阵 $A$ 是正定阵。