解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算极限
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(x^2 \sin \frac{1}{x}\right)}{x}
$$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{(1+x)^{\frac{1}{x}}}-(1+x)^{\frac{e}{x}}}{x^2}$
设函数 $y=f(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t^3 \\ y=e^{t^2}\end{array}\right.$ 确定，求下面的极限：
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} x\left[f\left(2+\frac{2}{x}\right)-f(2)\right]
$$
设 $f(x)=\int_0^x \cos (x-t)^2 \mathrm{~d} t, \varphi(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x-\sin x}{x-\ln (1+x)}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ ，求 $\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} f(\varphi(x))\right|_{x=0}$
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\int \ln \left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right) \mathrm{d} x
$$
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n^4} \prod_{k=1}^{2 n}\left(n^2+k^2\right)^{\frac{1}{n}}
$$
求曲线 $f(x)$ 的弧长
$$
f(x)=\int_{-\sqrt{3}}^x \sqrt{3-t^2} d t
$$
设 $f(x)=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}$ ，其反函数记作 $f^{-1}(x)$ ，求 $\int_0^{+\infty} f^{-1}(x) \mathrm{d} x$
设 $t>0$ ，平面有界区域 $D$ 由曲线 $y=\sqrt{x} e^{-x}$ 与直线 $x=t, x=2 t$ 及 $x$ 轴围成，$D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积为 $V(t)$ ，求 $V(t)$ 的最大值。
设 $(1+\sqrt{3})^n=a_n+\sqrt{3} b_n\left(a_n, b_n \in \mathbb{N}^{+}\right)$
（1）证明：$a_{n+1}=a_n+3 b_n, b_{n+1}=a_n+b_n$
（2）求 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{a_n}{b_n}$
设函数 $f(x)$ 具有二阶导数，且 $\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 1$
（1）证明：当 $x \in(0,1)$ 时，$|f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x| \leq \frac{x(1-x)}{2}$
（2）证明：
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\left|\int_0^1 f(x) d x-\frac{f(0)+f(1)}{2}\right| \leq \frac{1}{12}
$$