证明题 （共 17 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
试证明下列命题：
（1）若 $n$ 是自然数，则 $\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1} \in R \backslash Q$ ．
（2）若自然数 $n$ 不是完全平方数，则 $\sqrt{n} \in R \backslash Q$ ．
（3）设 $a, b, c$ 是正有理数，若 $\sqrt{a}+\sqrt{b}=c$ ，则 $\sqrt{a} \in Q , \sqrt{b} \in Q$ 。
试证明下列命题：
（1）（i）$\sqrt[n]{2} \in R \backslash Q (n \geqslant 2)$ ．（ii）$\sqrt[n]{n} \in R \backslash Q (n \geqslant 2)$ ．
（2）存在正无理数 $a, b$ ，使得 $a^b$ 是正整数．
证明 $\sqrt{2}+\sqrt[3]{2}$ 与 $\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}$ 以及 $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ 都是无理数．
证明 若 $\cos a+\sin a \in Q$ ，则 $\cos ^n a+\sin ^n a \in Q (n \in N )$ ．
试证明下列命题：
（1）正有理数全体 $Q$ 是可列集。
（2） $Q$ 是可列集。
(有理数的稠密性）设 $a, b$ 是实数，$a < b$ ，则存在有理数 $r: a < r < b$ ．
（无理数的稠密性）设 $a, b$ 是实数，$a < b$ ，则有无理数 $c: a < c < b$ ．
证明 对任给的实数 $x$ 以及正整数 $N: N>1$ ，必存在整数 $p, q: 0 < q < N$ ，使得
$$
|q x-p| < 1 / N .
$$
设 $f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ ，则 $n$ 次复合函数为
$$
(f \circ f \circ f \circ \cdots \circ f)(x)=\frac{x}{\sqrt{1+n x^2}}
$$
证明 当 $n=1$ 时，即 $f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ ，满足该结论．
试证明下列命题：
（1）设定义在 $(-\infty, \infty)$ 上的函数 $f(x)$ 满足
$$
f(x) \leqslant x, \quad f(x+y) \leqslant f(x)+f(y),
$$
则 $f(x) \equiv x(-\infty < x < \infty)$ 。
（2）若 $f(x)$ 是从 $(-\infty, \infty)$ 到 $(-\infty, \infty)$ 上的一一对应函数，则
$$
f\left(x^2\right)-f^2(x) < 1 / 4 \quad(-\infty < x < +\infty)
$$
试求 $a, b$ 之值，使方程 $\log _a x=x^b$ 有正解 $x$ 。
试证明下列命题：
（1）$f(x)=\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$ 是 $(-\infty, \infty)$ 上的奇函数。
（2）设 $a^2 \neq b^2, f(x)$ 定义在 $(-\infty, \infty)$ 上，且有
$$
f(0)=0, \quad a f(x)+b f(1 / x)=c / x \quad(x \neq 0),
$$
则 $f(x)$ 是奇函数。
设 $f(x)$ 是 $(-\infty, \infty)$ 上非常数的递增函数，则存在实数 $a$ 与 $c>0$ ，使得
$$
f(a+x)-f(a-x) \geqslant c x \quad(0 \leqslant x \leqslant 1) .
$$
下列定义在 $(-\infty, \infty)$ 上的函数 $f(x)$ 均为非周期函数：
（1）$f(x)=\sin x^2$ ．
（2）$f(x)=\sin x+\sin \sqrt{2} x$ ．
试证明下列不等式：
（1）$\frac{n^2}{x_1+\cdots+x_n} \leqslant \frac{1}{x_1}+\cdots+\frac{1}{x_n}\left(x_k>0, k=1,2, \cdots, n\right)$ ．
（2）$\frac{1}{\frac{\alpha_1}{x_1}+\cdots+\frac{\alpha_n}{x_n}} \leqslant x_1^{\alpha_1} \cdots x_n^{\alpha_n} \leqslant \alpha_1 x_1+\cdots+\alpha_n x_n\left(\alpha_k>0, x_k>0(k=1,2, \cdots, n)\right.$, $\left.\sum_{k=1}^n \alpha_k=1\right)$.
（3）$x_1^{\alpha_1} \cdots x_n^{\alpha_n}+y_1^{\alpha_1} \cdots y_n^{\alpha_n} \leqslant\left(x_1+y_1\right)^{\alpha_1} \cdots\left(x_n+y_n\right)^{\alpha_n}\left(\sum_{k=1}^n \alpha_k=1 ; \alpha_k>0, x_k>0, y_k>0, k=\right.$ $1,2, \cdots, n)$.
证明：若 $f(x)$ 在 $(0, \infty)$ 上严格上凸，$f(0)=0$ ，则
$$
f\left(x_1+x_2\right) < f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right), \quad x_1, x_2 \in(0, \infty) .
$$
（2）设 $f(x)$ 在 $(0, \infty)$ 上是（下）凸的，且 $\lim _{x \rightarrow 0+} f(x)=0$ ，则 $f(x) / x$ 在 $(0, \infty)$ 上递增。
（3）设 $f(x) / x$ 在 $(0, \infty)$ 上递减，则有
$$
f\left(x_1+x_2\right) \leqslant f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right), \quad x_1, x_2 \in(0, \infty) .
$$
证明（1）易知连结点 $(0,0)$ 与 $\left(x_1+x_2, f\left(x_1+x_2\right)\right)$ 的直线为 $f\left(x_1+x_2\right)=$ $k\left(x_1+x_2\right)$ ，又由 $f\left(x_1\right)>k x_1, f\left(x_2\right)>k x_2$ ，故得所证。
（2）设 $0 < x_1 < x_2 < \infty$ 。若 $0 < x < x_1$ ，则有 $x_1=\frac{x_2-x_1}{x_2-x} x+\frac{x_1-x}{x_2-x} x_2$ 。由 $f(x)$的凸性，可知
$$
f\left(x_1\right) \leqslant \frac{x_2-x_1}{x_2-x} f(x)+\frac{x_1-x}{x_2-x} f\left(x_2\right) .
$$
令 $x \rightarrow 0+$ ，即得 $f\left(x_1\right) \leqslant \frac{x_1}{x_2} f\left(x_2\right)$ 。证毕。
（3）只需注意，对 $x_1, x_2 \geqslant 0$ 有
$$
f\left(x_1+x_2\right)=x_1 \frac{f\left(x_1+x_2\right)}{x_1+x_2}+x_2 \frac{f\left(x_1+x_2\right)}{x_1+x_2} \leqslant f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right) .
$$