证明：若 $f(x)$ 在 $(0, \infty)$ 上严格上凸，$f(0)=0$ ，则

$$
f\left(x_1+x_2\right) < f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right), \quad x_1, x_2 \in(0, \infty) .
$$

（2）设 $f(x)$ 在 $(0, \infty)$ 上是（下）凸的，且 $\lim _{x \rightarrow 0+} f(x)=0$ ，则 $f(x) / x$ 在 $(0, \infty)$ 上递增。
（3）设 $f(x) / x$ 在 $(0, \infty)$ 上递减，则有

$$
f\left(x_1+x_2\right) \leqslant f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right), \quad x_1, x_2 \in(0, \infty) .
$$

证明（1）易知连结点 $(0,0)$ 与 $\left(x_1+x_2, f\left(x_1+x_2\right)\right)$ 的直线为 $f\left(x_1+x_2\right)=$ $k\left(x_1+x_2\right)$ ，又由 $f\left(x_1\right)>k x_1, f\left(x_2\right)>k x_2$ ，故得所证。
（2）设 $0 < x_1 < x_2 < \infty$ 。若 $0 < x < x_1$ ，则有 $x_1=\frac{x_2-x_1}{x_2-x} x+\frac{x_1-x}{x_2-x} x_2$ 。由 $f(x)$的凸性，可知

$$
f\left(x_1\right) \leqslant \frac{x_2-x_1}{x_2-x} f(x)+\frac{x_1-x}{x_2-x} f\left(x_2\right) .
$$


令 $x \rightarrow 0+$ ，即得 $f\left(x_1\right) \leqslant \frac{x_1}{x_2} f\left(x_2\right)$ 。证毕。
（3）只需注意，对 $x_1, x_2 \geqslant 0$ 有

$$
f\left(x_1+x_2\right)=x_1 \frac{f\left(x_1+x_2\right)}{x_1+x_2}+x_2 \frac{f\left(x_1+x_2\right)}{x_1+x_2} \leqslant f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right) .
$$