单选题 （共 11 题 ），每题只有一个选项正确
南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔 148． 5 m 时，相应水面的面积为 $140.0 km^2$ ；水位为海拔 157.5 m 时，相应水面的面积为 $180.0 km^2$ ，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 148.5 m 上升到 157.5 m 时，增加的水量约为 $(\sqrt{7} \approx 2.65) \quad(\quad)$
$\text{A.}$ $1.0 \times 10^9 m^3$
$\text{B.}$ $1.2 \times 10^9{ }_{ m }^3$
$\text{C.}$ $1.4 \times 10^9 m^3$
$\text{D.}$ $1.6 \times 10^9 m^3$
已知正四棱锥的侧棱长为 $l$ ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为 $36 \pi$ ，且 $3 \leq l \leq 3 \sqrt{3}$ ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
$\text{A.}$ $\left[18, \frac{81}{4}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\frac{27}{4}, \frac{81}{4}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\frac{27}{4}, \frac{64}{3}\right]$
$\text{D.}$ $[18,27]$
已知正三棱台的高为 1 ，上、下底面边长分别为 $3 \sqrt{3}$ 和 $4 \sqrt{3}$ ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
$\text{A.}$ $100 \pi$
$\text{B.}$ $128 \pi$
$\text{C.}$ $144 \pi$
$\text{D.}$ $192 \pi$
2020 年 12 月 8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8848.86 （单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有 $A, B, C$ 三点，且 $A, B, C$ 在同一水平面上的投影 $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ 满足 $\angle A^{\prime} C^{\prime} B^{\prime}=45^{\circ}, \angle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}=60^{\circ}$ ．由 $C$ 点测得 $B$ 点的仰角为 $15^{\circ}, B B^{\prime}$ 与 $C C^{\prime}$ 的差为 100 ；由 $B$ 点测得 $A$ 点的仰角为 $45^{\circ}$ ，则 $A, C$ 两点到水平面 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的高度差 $A A^{\prime}-C C^{\prime}$ 约为（ $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）
$\text{A.}$ 346
$\text{B.}$ 373
$\text{C.}$ 446
$\text{D.}$ 473
已如 $A, B, C$ 是半径为 1 的球 $O$ 的球面上的三个点，且 $A C \perp B C, A C=B C=1$ ，则三棱锥 $O-A B C$ 的体积为 $(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{12}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{12}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{4}$
埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{5}-1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{5}+1}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
已知 $A, B, C$ 为球 $O$ 的球面上的三个点，$\odot O_1$ 为 $ A B C$ 的外接圆，若 $\odot O_1$ 的面积为 $4 \pi, A B=B C=A C=O O_1$ ，则球 $O$ 的表面积为（ ）
$\text{A.}$ $64 \pi$
$\text{B.}$ $48 \pi$
$\text{C.}$ $36 \pi$
$\text{D.}$ $32 \pi$
已知圆锥的表面积为 $3 \pi$ ，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）
$\text{A.}$ $\sqrt{3} \pi$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3} \pi$
$\text{D.}$ $\sqrt{3}$
一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（ ）
$\text{A.}$ $\frac{1+2 \pi}{4 \pi}$
$\text{B.}$ $\frac{1+2 \pi}{2 \pi}$
$\text{C.}$ $\frac{1+2 \pi}{\pi}$
$\text{D.}$ $\frac{1+4 \pi}{2 \pi}$
已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（ ）
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{D.}$ $\sqrt{3}$
已知直三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 的 6 个顶点都在球 $O$ 的球面上，若 $A B=3, A C=4, A B \perp A C, A A_1=12$ ，则球 $O$的半径为（）
$\text{A.}$ $\frac{3 \sqrt{17}}{2}$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{10}$
$\text{C.}$ $\frac{13}{2}$
$\text{D.}$ $3 \sqrt{10}$