单选题 （共 9 题 ），每题只有一个选项正确
若 $\tan \theta=-2$ ，则 $\frac{\sin \theta(1+\sin 2 \theta)}{\sin \theta+\cos \theta}=$（ ）
$\text{A.}$ $-\frac{6}{5}$
$\text{B.}$ $-\frac{2}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{6}{5}$
已知 $\frac{\sin (\pi-\alpha)}{2 \sin \alpha+3 \cos (-\alpha)}=\frac{2}{5}$ ，则 $\tan \alpha$（ ）
$\text{A.}$ -6
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ $-\frac{2}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{2}{3}$
化简：$\frac{\tan (\pi-\alpha) \cos (2 \pi-\alpha) \sin \left(-\alpha+\frac{3 \pi}{2}\right)}{\cos (-\alpha-\pi) \sin (-\pi-\alpha)}$ 的值为（）
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
若 $\frac{\sin \alpha+\cos \alpha}{\sin \alpha-\cos \alpha}=\frac{1}{2}$ ，则 $\sin ^{2} \alpha-\sin \alpha \cos \alpha-3 \cos ^{2} \alpha=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{10}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{10}$
$\text{C.}$ $\frac{9}{10}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{2}$
已知 $\sin \theta+\cos \theta=-\frac{1}{5}, \theta \in(0, \pi)$ ，则 $\sin \theta-\cos \theta=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{5}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{7}{5}$
$\text{D.}$ $-\frac{7}{5}$
已知 $\sin \left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}$ ，则 $\cos \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)=$
$\text{A.}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
已知 $\cos \left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{5}{13}$ ，则 $\sin \left(\frac{7 \pi}{6}-\alpha\right)-2 \cos \left(\frac{2 \pi}{3}-\alpha\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ $-\frac{5}{13}$
$\text{B.}$ $\frac{5}{13}$
$\text{C.}$ $-\frac{15}{13}$
$\text{D.}$ $\frac{15}{13}$
已知 $\cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)+3 \cos (\alpha-\pi)=0$ ，则 $\frac{\sin \alpha-\sin ^{3} \alpha}{\sin \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}=$
$\text{A.}$ $\frac{3}{5}$
$\text{B.}$ $-\frac{3}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{10}$
$\text{D.}$ $-\frac{3}{10}$
若 $\frac{\sin (\pi-\theta)+\cos (\theta-2 \pi)}{\sin \theta+\cos (\pi+\theta)}=\frac{1}{2}$ ，则 $\tan \theta=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ -3
$\text{D.}$ 3
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $\cos \left(75^{\circ}+\alpha\right)=\frac{1}{3}$ ，求 $\cos \left(105^{\circ}-\alpha\right)+\sin \left(15^{\circ}-\alpha\right)=$ $\qquad$ ．
已知 $\tan \left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $\tan \left(\frac{5 \pi}{6}+\alpha\right)=$ $\qquad$ ．
已知 $\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{3}$ ，则 $\sin \left(x-\frac{5 \pi}{6}\right)+\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{3}-x\right)$ 的值为 $\qquad$。
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $\alpha$ 是第三象限角，且 $f(\alpha)=\frac{\sin (\pi-\alpha) \cdot \cos (2 \pi-\alpha) \cdot \tan (\alpha+\pi)}{\tan (-\alpha-\pi) \cdot \sin (-\alpha-\pi)}$ ．
（1）若 $\cos \left(\alpha-\frac{3 \pi}{2}\right)=\frac{1}{5}$ ，求 $f(\alpha)$ 的值；
（2）若 $\alpha=-1860^{\circ}$ ，求 $f(\alpha)$ 的值．
求值： $\sin \left(-1200^{\circ}\right) \cos 1290^{\circ}+\cos \left(-1020^{\circ}\right) \cdot \sin \left(-1050^{\circ}\right)=$ $\qquad$ ；
已知 $x \in(-\pi, 0), \sin x+\cos x=\frac{1}{5}$ ．求：
（1） $\sin x-\cos x$ 的值；
（2）$\frac{\sin 2 x+2 \sin ^{2} x}{1-\tan x}$ 的值．
化简：
（1） $\cos \alpha \sqrt{\frac{1-\sin \alpha}{1+\sin \alpha}}+\sin \alpha \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}$（ $\alpha$ 是第二象限角）；
（2） $\sin ^{4} \alpha+\sin ^{2} \alpha \cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha$ ．
已知 $\cos \left(75^{\circ}+\alpha\right)=\frac{1}{3}$ ，且 $\alpha$ 是第三象限角，求 $\cos \left(15^{\circ}-\alpha\right)+\sin \left(\alpha-15^{\circ}\right)$ 的值．