单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设离散型随机变量 $X$ 的分布律为：$P\{X=k\}=b \lambda^k,(k=1,2,3, \cdots)$ 且 $b>0$ ，则 $\lambda$ 为（ ）。
$\text{A.}$ $\lambda>0$ 的任意实数
$\text{B.}$ $\lambda=b+1$
$\text{C.}$ $\lambda=\frac{1}{1+b}$
$\text{D.}$ $\lambda=\frac{1}{b-1}$
当随机变量的可能值充满区间（ ），则 $\varphi(x)=\cos x$ 可以成为随机变量 $X$ 的分布密度．
$\text{A.}$ $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$
$\text{C.}$ $[0, \pi]$
$\text{D.}$ $\left[\frac{3}{2} \pi, \frac{7}{4} \pi\right]$
设 $f_1(x)$ 为标准正态分布的概率密度，$f_2(x)$ 为 $[-1,3]$ 上均匀分布的概率密度，若
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
a f_1(x), & x \leqslant 0, \\
b f_2(x), & x>0
\end{array} \quad(a>0, b>0)\right.
$$
为概率密度，则 $a, b$ 应满足
$\text{A.}$ $2 a+3 b=4$
$\text{B.}$ $3 a+2 b=4$
$\text{C.}$ $a+b=1$
$\text{D.}$ $a+b=2$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
某地区一个月内发生交通事故的次数 $X$ 服从参数 $\lambda$ 的泊松分布，即 $X \sim P(\lambda)$ ．据统计资料知，一个月内发生 8 次交通事故的概率是发生 10 次事故概率的 2.5 倍．
（1）求 1 个月内发生 8 次， 10 次交通事故的概率；
（2）求 1 个月内至少发生 1 次交通事故的概率．
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}, & \text { 若 } x \in[1,8] \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}, F(x)\right.$ 是 $X$ 的分布函数．求随机变量 $Y=F(X)$ 的分布函数．
设在 15 只同类型的零件中有 2 只是次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不放回抽样，以 $X$ 表示取出样品的只数，求 $X$ 的分布律．
设事件 $A$ 在每一次试验中发生的概率为 0.3 ，当 $A$ 发生不少于 3 次时，指示灯发出信号．
（1）进行了 5 次独立试验，求指示灯发出信号的概率；
（2）进行了 7 次独立试验，求指示灯发出信号的概率。
现有 500 人检査身体，初步发现有 50 人患有某种病，从中任找出 10 人，求下列事件的概率：
（1）恰有 1 人患此病；
（2）最多有 1 人患此病；
（3）至少有 1 人患此病．
某单位招聘 155 人，按考试成绩录用，共有 526 人报名，假设报名者的考试成绩 $X \sim$ $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 。已知 90 分以上的 12 人， 60 分以下的 83 人，若从高分到低分依次录取，某人成绩为 78分，问此人能否被录取？
设电源电压 $U \sim N\left(220,25^2\right)$（单位：V）．通常有 3 种状态：（1）不超过 200 V ；（2）在 $200 V \sim 240 V$ 之间；（3）超过 240 V ．在上述三种状态下，某电子元件损坏的概率分别为 0.1 ， $0.001,0.2$ ．
（1）求电子元件损坏的概率 $\alpha$ ；
（2）在电子元件已损坏的情况下，试分析电压所处的状态．