俞正光编著线性代数同步辅导2003版(合同)

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俞正光编著线性代数同步辅导2003版(合同)

一、单选题（共 3 题），每题只有一个选项正确

1. 设

A = (\begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}), B = (\begin{array}{llll} 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})

，则矩阵

A

和

B

A.

合同且相似

B.

合同但不相似

C.

不合同但相似

D.

不合同也不相似

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2. 与矩阵

A = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \end{array})

合同的矩阵是（）。

A.

(\begin{array}{lll} 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{array})

B.

(\begin{array}{lll} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array})

C.

(\begin{array}{lll} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array})

D.

(\begin{array}{lll} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})

．

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3. 与矩阵

A = (\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 2 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{array})

既相似又合同的矩阵是（）

A.

(\begin{array}{lll} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array})

B.

(\begin{array}{lll} 2 \\ - 3 \\ 0 \end{array})

C.

(\begin{array}{lll} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{array})

D.

(\begin{array}{lll} 4 \\ - 3 \\ 0 \end{array})

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二、解答题（共 11 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

4. 设

A = (\begin{array}{ccc} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}), B = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}), C = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \end{array}),

问

A, B, C

哪些相似？哪些合同？

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5. 用配方法将下列二次型化为标准形，并写出所作的可逆线性替换。

\begin{aligned} f (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = & x_{1}^{2} + 3 x_{2}^{2} + 4 x_{4}^{2} + 4 x_{1} x_{2} - 2 x_{1} x_{4} - 2 x_{2} x_{3} \\ - 6 x_{2} x_{4} + 2 x_{3} x_{4} \end{aligned}

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6. 用矩阵的初等变换法将二次型化成标准形，并求可逆线性替換。

f = X^{T} (\begin{array}{lll} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}) X

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7. 用矩阵的初等变换法将下列二次型化为标准形，并求可逆线性替换。

f = X^{T} (\begin{array}{ccc} 0 & - 1 & 0 \\ - 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}) X

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8. 用矩阵的初等变换法将二次型化成标准形，并写出所作可逆线性替换。

f = X^{T} (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - 1 & 0 \end{array}) X

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9. 用矩阵的初等变换法将二次型化作标准形，并写出所作的可逆线性替换。

f = X^{T} (\begin{array}{cccc} 0 & 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 & 1 \end{array}) X

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10. 用正交线性替换化实二次型为标准形。

f = x_{1}^{2} + 2 x_{2}^{2} + 3 x_{3}^{2} - 4 x_{1} x_{2} - 4 x_{2} x_{3}

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11. 用正交变换法化二次型为标准形．

f = 2 x_{1} x_{2} + 2 x_{1} x_{3} + 2 x_{2} x_{3}

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12. 用正交线性替换化下列二次型为标准形

f = 3 x_{1}^{2} + 3 x_{3}^{2} + 4 x_{1} x_{2} + 8 x_{1} x_{3} + 4 x_{2} x_{3} .

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13. 用正交变换将二次型化为标准形

f = 2 x_{1} x_{2} - 2 x_{3} x_{4} .

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14. 已知二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 2 x_{1}^{2} + 3 x_{2}^{2} + 3 x_{3}^{2} + 2 t x_{2} x_{3} (t > 0) .

通过正交线性替换化为

f = 2 y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + 5 y_{3}^{2}

（1）求

t

及正交线性替换的正交矩阵；
（2）证明在条件

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = 1

下

f

的最大值为 5 ．

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