小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：

求解体验：
（1）已知抛物线 $y=-x^2+b x-3$ 经过点 $(-1,0)$ ，则 $b=$ $\qquad$ ，顶点坐标为 $\qquad$ ，该抛物线关于点 $(0,1)$成中心对称的抛物线表达式是 $\qquad$ ．
抽象感悟：
我们定义：对于抛物线 $y=a x^2+b x+c(a \neq 0)$ ，以 $y$ 轴上的点 $M(0, m)$ 为中心，作该抛物线关于点 $M$ 对称的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线 $y$ 的＂衍生抛物线＂，点 $M$ 为＂衍生中心＂．
（2）已知抛物线 $y=-x^2-2 x+5$ 关于点 $(0, m)$ 的衍生抛物线为 $y^{\prime}$ ，若这两条抛物线有交点，求 $m$ 的取值范围．问题解决：
（3）已知抛物线 $y=a x^2+2 a x-b(a \neq 0)$ ．
① 若抛物线 $y$ 的衍生抛物线为 $y^{\prime}=b x^2-2 b x+a^2(b \neq 0)$ ，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求 $a$ ， $b$ 的值及衍生中心的坐标；
② 若抛物线 $y$ 关于点 $\left(0, k+1^2\right)$ 的衍生抛物线为 $y_1$ ，其顶点为 $A_1$ ；关于点 $\left(0, k+2^2\right)$ 的衍生抛物线为 $y_2$ ，其顶点为 $A_2 ; \ldots$ ；关于点 $\left(0, k+n^2\right)$ 的衍生抛物线为 $y_n$ ，其顶点为 $A_n, \ldots$（ $n$ 为正整数）．求 $A_n A_{n-1}$ 的长（用含 $n$ 的式子表示）。

定义：同时经过 $x$ 轴上两点 $A(m, 0), B(n, 0)(m \neq n)$ 的两条拋物线称为同弦抛物线．如抛物线 $C_1: y=(x-1)(x-3)$ 与抛物线 $C_2: y=2(x-1)(x-3)$ 是都经过 $(1,0),(3,0)$ 的同弦抛物线．
（1）引进一个字母，表达出抛物线 $C_1$ 的所有同弦抛物线；
（2）判断抛物线 $C_3: y=\frac{1}{2} x^2-\frac{3}{2} x+1$ 与抛物线 $C_1$ 是否为同弦抛物线，并说明理由；
（3）已知抛物线 $C_4$ 是 $C_1$ 的同弦抛物线，且过点 $(4,5)$ ，求抛物线 $C_4$ 对应函数的最大值或最小值．

小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数 $y=a_1 x^2+b_1 x+c_1\left(a_1 \neq 0, a_1, b_1, c_1\right.$ 是常数）与 $y=a_2 x^2+b_2 x+c_2\left(a_2 \neq 0, a_2, b_2, c_2\right.$ 是常数）满足 $a_1+a_2=0, b_1=b_2, c_1+c_2=0$ ，则称这两个函数互为＂旋转函数＂．求 $y=-x^2+3 x-2$ 函数的＂旋转函数＂．
小明是这样思考的：由 $y=-x^2+3 x-2$ 函数可知 $a_1=-1, b_1=3, c_1=-2$ ，根据 $a_1+a_2=0, b_1=b_2, c_1+c_2=0$求出 $a_2, b_2, c_2$ ，就能确定这个函数的＂旋转函数＂．
请参考小明的方法解决下面的问题：
（1）写出函数 $y=-x^2+3 x-2$ 的＂旋转函数＂；
（2）若函数 $y_1=x^2-\frac{4 n}{3} x+n$ 与 $y_2=-x^2+m x-3$ 互为＂旋转函数＂，求 $(m+n)^{2016}$ 的值；
（3）已知函数 $y=\frac{1}{2}(x-1)(x+4)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A , ~ B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $A , ~ B, ~ C$ 关于原点的对称点分别是 $A_1, ~ B_1, ~ C_1$ ，试证明经过点 $A_1, ~ B_1, ~ C_1$ 的二次函数与函数 $y=\frac{1}{2}(x-1)(x+4)$ 互为＂旋转函数＂．

定义：关于 $x$ 轴对称且对称轴相同的两条拋物线叫作＂同轴对称抛物线＂．
例如：$y=(x-1)^2-2$ 的＂同轴对称抛物线＂为 $y=-(x-1)^2+2$ ．



（1）请写出抛物线 $y=(x-1)^2-2$ 的顶点坐标 $\qquad$ ；及其＂同轴对称抛物线＂$y=-(x-1)^2+2$ 的顶点坐标 $\qquad$ ；写出抛物线 $y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{3}{2}$ 的＂同轴对称抛物线＂为 $\qquad$ ．
（2）如图，在平面直角坐标系中，点 $B$ 是抛物线 $L: y=a x^2-4 a x+1$ 上一点，点 $B$ 的横坐标为 1 ，过点 $B$ 作 $x$轴的垂线，交抛物线 $L$ 的＂同轴对称抛物线＂于点 $C$ ，分别作点 $B, ~ C$ 关于抛物线对称轴对称的点 $B^{\prime}, ~ C^{\prime}$ ，连接 $B C, ~ C C^{\prime}, ~ B^{\prime} C^{\prime}, ~ B B^{\prime}$ ，设四边形 $B B^{\prime} C^{\prime} C$ 的面积为 $S(S>0)$ ．
① 当四边形 $B B^{\prime} C^{\prime} C$ 为正方形时，求 $a$ 的值．
② 当抛物线 $L$ 与其＂同轴对称抛物线＂围成的封闭区域内（不包括边界）共有 11 个横，纵坐标均为整数的点时，请求出 $a$ 的取值范围．

【【阅读理解】
定义：在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于一个动点 $P(x, y)$ ，若 $x, y$ 都可以用同一个字母表示，那么点 $P$ 的运动路径是确定的．若根据点 $P$ 坐标求出点 $P$ 运动路径所对应的关系式是函数，则称由点坐标求函数表达式的过程叫做将点＂去隐＂。
例如，将点 $M(m+1,-m+1)$（ $m$ 为任意实数）＂去隐＂的方法如下：
设 $x=m+1$（1）,$\quad y=-m+1$（2），
由（1）得 $m=x-1$（3）
将（3）代入（2）得 $y=-(x-1)+1$ ，整理得 $y=-x+2$ ，
则直线 $y=-x+2$ 是点 $M$ 的运动路径．
【迁移应用】在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知动点 $Q\left(-a,-\frac{1}{4} a^2-a+3\right)$（ $a$ 为任意实数）的运动路径是抛物线．

（1）请将点 $Q^{\prime}$ 去隐＂，得到该抛物线表达式；
（2）记（1）中抛物线为 $W$（如图），$W$ 与 $x$ 轴交于点 $A, B$（ $A$ 在 $B$ 的左侧），其顶点为点 $C$ ，现将 $W$ 进行平移，平移后的抛物线 $W^{\prime}$ 始终过点 $A$ ，点 $C$ 的对应点为 $C^{\prime}$ ．
i）试确定点 $C^{\prime}$ 运动路径所对应的函数表达式；
ii ）在直线 $x=-2$ 的左侧，是否存在点 $C^{\prime}$ ，使 $\triangle A C C^{\prime}$ 为等腰三角形？若存在，求出点 $C^{\prime}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）已知直线解析式为 $y=x-1$ ，下列抛物线为该直线的＂双幸运曲线＂的是 $\qquad$ ；（填序号）
① $y=x^2+1$ ；
② $y=x^2+x-2$ ； ③ $y=x^2-x$ ；
（2）如图，已知直线 $l: y=x-4$ ，抛物线 $y=-x^2-3 x$ 为直线 $l$ 的＂双幸运曲线＂，＂幸运点＂分别为 $A , ~ B$ ，在直线 $l$ 上方拖物线部分是否存在点 $P$ 使 $\triangle P A B$ 面积最大，若存在，请求出面积的最大值和点 $P$ 坐标，若不存在，请说明理由；
（3）已知 $x$ 轴的＂双幸运曲线＂$y=a x^2+b x+c \quad(a>b>0)$ 经过点 $(1,3),(0,-2)$ ，在 $x$ 轴的＂幸运点＂分别为 $M, ~ N$ ，试求 $M N$ 的取值范围．