小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：
求解体验：
（1）已知抛物线 $y=-x^2+b x-3$ 经过点 $(-1,0)$ ，则 $b=$ $\qquad$ ，顶点坐标为 $\qquad$ ，该抛物线关于点 $(0,1)$成中心对称的抛物线表达式是 $\qquad$ ．
抽象感悟：
我们定义：对于抛物线 $y=a x^2+b x+c(a \neq 0)$ ，以 $y$ 轴上的点 $M(0, m)$ 为中心，作该抛物线关于点 $M$ 对称的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线 $y$ 的＂衍生抛物线＂，点 $M$ 为＂衍生中心＂．
（2）已知抛物线 $y=-x^2-2 x+5$ 关于点 $(0, m)$ 的衍生抛物线为 $y^{\prime}$ ，若这两条抛物线有交点，求 $m$ 的取值范围．问题解决：
（3）已知抛物线 $y=a x^2+2 a x-b(a \neq 0)$ ．
① 若抛物线 $y$ 的衍生抛物线为 $y^{\prime}=b x^2-2 b x+a^2(b \neq 0)$ ，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求 $a$ ， $b$ 的值及衍生中心的坐标；
② 若抛物线 $y$ 关于点 $\left(0, k+1^2\right)$ 的衍生抛物线为 $y_1$ ，其顶点为 $A_1$ ；关于点 $\left(0, k+2^2\right)$ 的衍生抛物线为 $y_2$ ，其顶点为 $A_2 ; \ldots$ ；关于点 $\left(0, k+n^2\right)$ 的衍生抛物线为 $y_n$ ，其顶点为 $A_n, \ldots$（ $n$ 为正整数）．求 $A_n A_{n-1}$ 的长（用含 $n$ 的式子表示）。
求解体验：
（1）已知抛物线 $y=-x^2+b x-3$ 经过点 $(-1,0)$ ，则 $b=$ $\qquad$ ，顶点坐标为 $\qquad$ ，该抛物线关于点 $(0,1)$成中心对称的抛物线表达式是 $\qquad$ ．
抽象感悟：
我们定义：对于抛物线 $y=a x^2+b x+c(a \neq 0)$ ，以 $y$ 轴上的点 $M(0, m)$ 为中心，作该抛物线关于点 $M$ 对称的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线 $y$ 的＂衍生抛物线＂，点 $M$ 为＂衍生中心＂．
（2）已知抛物线 $y=-x^2-2 x+5$ 关于点 $(0, m)$ 的衍生抛物线为 $y^{\prime}$ ，若这两条抛物线有交点，求 $m$ 的取值范围．问题解决：
（3）已知抛物线 $y=a x^2+2 a x-b(a \neq 0)$ ．
① 若抛物线 $y$ 的衍生抛物线为 $y^{\prime}=b x^2-2 b x+a^2(b \neq 0)$ ，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求 $a$ ， $b$ 的值及衍生中心的坐标；
② 若抛物线 $y$ 关于点 $\left(0, k+1^2\right)$ 的衍生抛物线为 $y_1$ ，其顶点为 $A_1$ ；关于点 $\left(0, k+2^2\right)$ 的衍生抛物线为 $y_2$ ，其顶点为 $A_2 ; \ldots$ ；关于点 $\left(0, k+n^2\right)$ 的衍生抛物线为 $y_n$ ，其顶点为 $A_n, \ldots$（ $n$ 为正整数）．求 $A_n A_{n-1}$ 的长（用含 $n$ 的式子表示）。