定义：关于 $x$ 轴对称且对称轴相同的两条拋物线叫作＂同轴对称抛物线＂．
例如：$y=(x-1)^2-2$ 的＂同轴对称抛物线＂为 $y=-(x-1)^2+2$ ．
（1）请写出抛物线 $y=(x-1)^2-2$ 的顶点坐标 $\qquad$ ；及其＂同轴对称抛物线＂$y=-(x-1)^2+2$ 的顶点坐标 $\qquad$ ；写出抛物线 $y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{3}{2}$ 的＂同轴对称抛物线＂为 $\qquad$ ．
（2）如图，在平面直角坐标系中，点 $B$ 是抛物线 $L: y=a x^2-4 a x+1$ 上一点，点 $B$ 的横坐标为 1 ，过点 $B$ 作 $x$轴的垂线，交抛物线 $L$ 的＂同轴对称抛物线＂于点 $C$ ，分别作点 $B, ~ C$ 关于抛物线对称轴对称的点 $B^{\prime}, ~ C^{\prime}$ ，连接 $B C, ~ C C^{\prime}, ~ B^{\prime} C^{\prime}, ~ B B^{\prime}$ ，设四边形 $B B^{\prime} C^{\prime} C$ 的面积为 $S(S>0)$ ．
① 当四边形 $B B^{\prime} C^{\prime} C$ 为正方形时，求 $a$ 的值．
② 当抛物线 $L$ 与其＂同轴对称抛物线＂围成的封闭区域内（不包括边界）共有 11 个横，纵坐标均为整数的点时，请求出 $a$ 的取值范围．
例如：$y=(x-1)^2-2$ 的＂同轴对称抛物线＂为 $y=-(x-1)^2+2$ ．
（1）请写出抛物线 $y=(x-1)^2-2$ 的顶点坐标 $\qquad$ ；及其＂同轴对称抛物线＂$y=-(x-1)^2+2$ 的顶点坐标 $\qquad$ ；写出抛物线 $y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{3}{2}$ 的＂同轴对称抛物线＂为 $\qquad$ ．
（2）如图，在平面直角坐标系中，点 $B$ 是抛物线 $L: y=a x^2-4 a x+1$ 上一点，点 $B$ 的横坐标为 1 ，过点 $B$ 作 $x$轴的垂线，交抛物线 $L$ 的＂同轴对称抛物线＂于点 $C$ ，分别作点 $B, ~ C$ 关于抛物线对称轴对称的点 $B^{\prime}, ~ C^{\prime}$ ，连接 $B C, ~ C C^{\prime}, ~ B^{\prime} C^{\prime}, ~ B B^{\prime}$ ，设四边形 $B B^{\prime} C^{\prime} C$ 的面积为 $S(S>0)$ ．
① 当四边形 $B B^{\prime} C^{\prime} C$ 为正方形时，求 $a$ 的值．
② 当抛物线 $L$ 与其＂同轴对称抛物线＂围成的封闭区域内（不包括边界）共有 11 个横，纵坐标均为整数的点时，请求出 $a$ 的取值范围．