定义：同时经过 $x$ 轴上两点 $A(m, 0), B(n, 0)(m \neq n)$ 的两条拋物线称为同弦抛物线．如抛物线 $C_1: y=(x-1)(x-3)$ 与抛物线 $C_2: y=2(x-1)(x-3)$ 是都经过 $(1,0),(3,0)$ 的同弦抛物线．
（1）引进一个字母，表达出抛物线 $C_1$ 的所有同弦抛物线；
（2）判断抛物线 $C_3: y=\frac{1}{2} x^2-\frac{3}{2} x+1$ 与抛物线 $C_1$ 是否为同弦抛物线，并说明理由；
（3）已知抛物线 $C_4$ 是 $C_1$ 的同弦抛物线，且过点 $(4,5)$ ，求抛物线 $C_4$ 对应函数的最大值或最小值．