解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $a_0, a_1, \cdots, a_p$ 是 $p+1$ 个给定的数，且满足条件 $a_0+a_1+\cdots+a_p=0$ ．求 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_0 \sqrt{n}+\right.$ $\left.a_1 \sqrt{n+1}+\cdots+a_p \sqrt{n+p}\right)$ ．
证明题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\left\{a_{2 k-1}\right\},\left\{a_{2 k}\right\},\left\{a_{3 k}\right\}$ 都收敛，证明：$\left\{a_n\right\}$ 收敛．
设 $\left\{a_n\right\}$ 有界，且满足条件 $a_n \leq a_{n+2}, a_n \leq a_{n+3}, n \in N^{+}$，证明：$\left\{a_n\right\}$ 收敛．
设 $\left\{a_n+a_{n+1}\right\}$ 和 $\left\{a_n+a_{n+2}\right\}$ 都收敛，证明：$\left\{a_n\right\}$ 收敛．
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛于 0 ，又存在极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=a$ ，证明：$a \leq 1$
设 $a_n=\sum_{k=1}^n\left(\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}-1\right), n \in N^{+}$，计算 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ ．
用 $p(n)$ 表示能整除 $n$ 的素数的个数，证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{p(n)}{n}=0$ ．
证明：当 $0 < k < 1$ 时 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[(1+n)^k-n^k\right]=0$ ．
（1）设 $\left\{x_n\right\}$ 收敛，令 $y_n=n\left(x_n-x_{n-1}\right), n \in N^{+}$，问 $\left\{y_n\right\}$ 是否收敛．
（2）在上一题中，若 $\left\{y_n\right\}$ 也收敛，证明：$\left\{y_n\right\}$ 收敛于 0 ．
（1）设正数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足条件 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}=0$ ．证明：$\left\{a_n\right\}$ 是无穷大量．
（2）设正数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足条件 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}+a_{n+2}}=0$ ，证明：$\left\{a_n\right\}$ 无界．
证明：$\left(\frac{n}{3}\right)^n < n! < \left(\frac{n}{2}\right)^n$ ，其中右边的不等式当 $n \geq 6$ 时成立．
设 $a_n=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}-2 \sqrt{n}, n \in N^{+}$，证明：$\left\{a_n\right\}$ 收敛．
设已知存在极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_1+a_2+\cdots a_n}{n}$ ，证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{n}=0$ ．