解答题 （共 25 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)=e^{(a+x)^2}+e^{(a-x)^2}-2 e^{a^2}$ ( $a$ 为常数), $g(x)=A x^n$
求 $A$ 及 $n$, 使当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x) \sim g(x)$.
设 $f(x)=\sin x-2 \sin 3 x+\sin 5 x, \quad g(x)=A x^n$, 求 $A$ 及 $n$, 使当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x) \sim g(x)$.
确定 $A$ 及 $n$, 使当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)=\ln \left(x^2+\sqrt{1+x^2}\right)$ 与 $g(x)=A x^n$,是等价无穷小.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 3} \frac{(5-2 x)^{\frac{1}{3}}+\sqrt{x-2}}{x-3}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+a x)^{\frac{1}{n}}-1}{x}$ ( $n$ 为自然数). $a \neq 0$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-4 x)^{\frac{1}{2}}-(1+6 x)^{\frac{1}{3}}}{x}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+5 x}-\sqrt{1-3 x}}{x^2+2 x}$.
应用等阶无穷小性质, 求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arctan (1+x)-\arctan (1-x)}{x}$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sec \frac{\pi}{n}\right)^{n^2}$.
设 $x_n=\frac{a^n \cdot n!}{n^n}$ 其中 $a>0$ 是常数, $n$ 为正整数, 求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n}$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^m-x^n}{x^m+x^n-2} \quad$ ( $m$ 、 $n$ 为正整数).
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}}{x}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln \left(x^6+5 x^3+7\right)}{\ln \left(x^2-3 x+4\right)}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln \left(2+3 e^{2 x}\right)}{\ln \left(3+2 e^{3 x}\right)}$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+2)^2}+\cdots+\frac{1}{(2 n)^2}\right]$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[3]{n^2} \sin n!}{n+1}$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\right)$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^n}{n!}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{3}} \frac{\tan ^3 x-3 \tan x}{\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{100 x^2+10 x+1}{x^3+0.1 x^2+0.01 x+0.001}$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^2\left(1-\cos \frac{\pi}{n}\right)$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} 2^n \sin \frac{\pi}{2^{n-1}}$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n \sin \frac{e}{n}$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\arctan \frac{n+1}{n}-\frac{\pi}{4}\right) \sqrt{n^2+1}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+3 x)}{x}$.