知乎高等数学《极限必做150题》第51-75题

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知乎高等数学《极限必做150题》第51-75题

一、解答题（共 25 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 设

f (x) = e^{(a + x)^{2}} + e^{(a - x)^{2}} - 2 e^{a^{2}}

(

a

为常数),

g (x) = A x^{n}

求

A

及

n

, 使当

x \to 0

时,

f (x) \sim g (x)

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2. 设

f (x) = \sin x - 2 \sin 3 x + \sin 5 x, g (x) = A x^{n}

, 求

A

及

n

, 使当

x \to 0

时,

f (x) \sim g (x)

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3. 确定

A

及

n

, 使当

x \to 0

时,

f (x) = \ln (x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}})

与

g (x) = A x^{n}

,是等价无穷小.

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4. 求极限

lim_{x \to 3} \frac{(5 - 2 x)^{\frac{1}{3}} + \sqrt{x - 2}}{x - 3}

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5. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{(1 + a x)^{\frac{1}{n}} - 1}{x}

(

n

为自然数).

a \neq 0

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6. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{(1 - 4 x)^{\frac{1}{2}} - (1 + 6 x)^{\frac{1}{3}}}{x}

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7. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 5 x} - \sqrt{1 - 3 x}}{x^{2} + 2 x}

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8. 应用等阶无穷小性质, 求极限

lim_{x \to 0} \frac{\arctan (1 + x) - \arctan (1 - x)}{x}

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9. 求数列的极限

lim_{n \to \infty} {(\sec \frac{π}{n})}^{n^{2}}

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10. 设

x_{n} = \frac{a^{n} \cdot n!}{n^{n}}

其中

a > 0

是常数,

n

为正整数, 求极限

lim_{n \to \infty} \frac{x_{n + 1}}{x_{n}}

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11. 求极限

lim_{x \to 1} \frac{x^{m} - x^{n}}{x^{m} + x^{n} - 2}

(

m

、

n

为正整数).

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12. 求极限

lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}}}{x}

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13. 求极限

lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x^{6} + 5 x^{3} + 7)}{\ln (x^{2} - 3 x + 4)}

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14. 求极限

lim_{x \to + \infty} \frac{\ln (2 + 3 e^{2 x})}{\ln (3 + 2 e^{3 x})}

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15. 求数列的极限

lim_{n \to \infty} [\frac{1}{(n + 1)^{2}} + \frac{1}{(n + 2)^{2}} + \dots + \frac{1}{(2 n)^{2}}]

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16. 求数列的极限

lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{n^{2}} \sin n!}{n + 1}

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17. 求数列的极限

lim_{n \to \infty} (\frac{1}{\sqrt{n^{2} + 1}} + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 2}} + \dots \frac{1}{\sqrt{n^{2} + n}})

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18. 求数列的极限

lim_{n \to \infty} \frac{2^{n}}{n!}

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19. 求极限

lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\tan^{3} x - 3 \tan x}{\cos (x + \frac{π}{6})}

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20. 求极限

lim_{x \to \infty} \frac{100 x^{2} + 10 x + 1}{x^{3} + 0.1 x^{2} + 0.01 x + 0.001}

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21. 求数列的极限

lim_{n \to \infty} n^{2} (1 - \cos \frac{π}{n})

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22. 求数列的极限

lim_{n \to \infty} 2^{n} \sin \frac{π}{2^{n - 1}}

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23. 求数列的极限

lim_{n \to \infty} n \sin \frac{e}{n}

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24. 求数列的极限

lim_{n \to \infty} (\arctan \frac{n + 1}{n} - \frac{π}{4}) \sqrt{n^{2} + 1}

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25. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 3 x)}{x}

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