单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知角 $\alpha$ 是第一象限角, $\cos \alpha=\frac{3}{5}$, 则 $\cos \left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{3-4 \sqrt{3}}{10}$
$\text{B.}$ $\frac{-3+4 \sqrt{3}}{10}$
$\text{C.}$ $\frac{3-4 \sqrt{3}}{10}$
$\text{D.}$ $\frac{3+4 \sqrt{3}}{10}$
已知 $\tan \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=2 \tan \theta-7$, 则 $\sin 2 \theta=(\quad)$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $\pm 2$
$\text{C.}$ $\pm \frac{4}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{5}$
已知锐角 $\alpha, \beta$ 满足 $\sin \alpha=\frac{4}{5}, \cos (\alpha+\beta)=-\frac{12}{13}$, 则 $\cos \beta$ 的值为
$\text{A.}$ $\frac{16}{65}$
$\text{B.}$ $-\frac{16}{65}$
$\text{C.}$ $\frac{33}{65}$
$\text{D.}$ $-\frac{33}{65}$
我国古代数学家僧一行应用"九服㟟影算法"在 《大衍历》中建立了㫛影长 $l$ 与太阳天顶距 $\theta\left(0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}\right)$ 的对应数表，这是世界数学史上最早的一整正切函数表。根据三角学知识可知，媘影长度 $l$ 等于表高 $h$ 与太阳天顶距 $\theta$ 正切值的乘积，即 $l=h \tan \theta$ ，对同一"表高"两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为 $\alpha 、 \beta$ ，若第一次的"暑影长"是"表高"的 3 倍，且 $\tan (\alpha-\beta)=\frac{1}{2}$ ，则第二次"暑影长"是"表高"的（）倍。
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{5}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{7}{2}$
已知 $\cos \left(\alpha+\frac{\pi}{12}\right)=\frac{3}{5}, \alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 则 $\cos \left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{3-4 \sqrt{3}}{10}$
$\text{B.}$ $\frac{4}{5}$
$\text{C.}$ $-\frac{\sqrt{2}}{10}$
$\text{D.}$ $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$
已知 $\sin \left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)+\cos \alpha=\frac{3}{5}$, 则 $\cos \left(2 \alpha+\frac{\pi}{3}\right)=$ （）
$\text{A.}$ $-\frac{7}{25}$
$\text{B.}$ $\frac{7}{25}$
$\text{C.}$ $-\frac{24}{25}$
$\text{D.}$ $\frac{24}{25}$
已知 $\cos \alpha=\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \sin \beta=\frac{\sqrt{10}}{10}$, 且 $\alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 则 $\alpha+\beta$ 的值是
$\text{A.}$ $\frac{3 \pi}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{7 \pi}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{5 \pi}{4}$
已知 $2 \sin \alpha-\sin \beta=\sqrt{3}, 2 \cos \alpha-\cos \beta=1$, 则 $\cos (2 \alpha-2 \beta)=(\quad)$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{8}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{15}}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $-\frac{7}{8}$
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
下列选项中，值为 $\frac{1}{4}$ 的是（）
$\text{A.}$ $\cos 72^{\circ} \cos 36^{\circ}$
$\text{B.}$ $\sin \frac{\pi}{12} \sin \frac{5 \pi}{12}$
$\text{C.}$ $\cos 20^{\circ} \cos 40^{\circ} \cos 80^{\circ}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}-\frac{2}{3} \cos ^2 15^{\circ}$
使等式 $\frac{\sin \alpha}{\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)}+\frac{\cos \alpha}{\cos \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)}=2$ 成立的 $\alpha$ 的值可以为 $(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{8}$
$\text{B.}$ $\frac{5}{8} \pi$
$\text{C.}$ $-\frac{\pi}{8}$
$\text{D.}$ $-\frac{3}{8} \pi$
下列等式成立的是（）
$\text{A.}$ $\left(\sin 15^{\circ}-\cos 15^{\circ}\right)^2=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\sin ^2 22.5^{\circ}-\cos ^2 22.5^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{C.}$ $\cos 24^{\circ} \cos 36^{\circ}-\cos 66^{\circ} \cos 54^{\circ}=\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\sin 40^{\circ}\left(\tan 10^{\circ}-\sqrt{3}\right)=-\frac{3}{2}$
已知 $\alpha, \beta$ 满足 $0 < \alpha < \frac{\pi}{2} < \beta < \pi$, 且 $\sin \alpha=\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \cos \beta=-\frac{3}{5}$, 则（）
$\text{A.}$ $\alpha+\beta < \pi$
$\text{B.}$ $\beta-\alpha < \frac{\pi}{2}$
$\text{C.}$ $\beta-2 \alpha=0$
$\text{D.}$ $\tan 2 \alpha+\tan 2 \beta>0$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $\alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 且 $\sin 2 \alpha-\sqrt{3} \sin \alpha=0$, 则 $\alpha=$
已知 $\alpha$ 为锐角, 若 $\cos \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{4}{5}$, 则 $\sin \left(2 \alpha+\frac{7 \pi}{12}\right)$ 的值为
求值: $\frac{2 \sin 80^{\circ} \cos 20^{\circ}}{1+4 \cos 20^{\circ} \sin ^2 50^{\circ}}=$
若 $\frac{\sin 2 x+\sqrt{3} \cos 2 x}{\sin x-\sqrt{3} \cos x}=1$, 则 $\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)=$