一、填空题 （共 12 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
若函数 $f(x)$ 满足 $f^{\prime \prime}(x)+a f^{\prime}(x)+f(x)=0(a>0)$, 且 $f(0)=m, f^{\prime}(0)=n$, 则 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=$
微分方程 $y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=0$ 的通解为
微分方程 $y^{\prime}=3 x^2 y$ 在条件 $\left.y\right|_{x=0}=1$ 下的特解为 $y=$
微分方程 $y^{\prime}+x y=x y^3$ 当中满足 $y(0)=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 的特解为
设 $z=z(x, y)$ 由方程 $x y z^2+\sqrt{x^2+y^2}+z=2$ 确定, 则 $\left.d z\right|_{\substack{x=1 \\ y z 0}}=$
设隐函数 $y=y(x)$ 由方程 $y^2(x-y)=x^2$ 所确定，则
$$
\int \frac{\mathrm{d} x}{y^2}=
$$
已知 $\frac{(x+a y) \mathrm{d} x+y \mathrm{~d} y}{(x+y)^2}$ 是全微分表达方式, 则 $a=$
设 $y=y(x)$ 由 $\int_{x+1}^{x+y} \mathrm{e}^{-(t-x)^2} \mathrm{~d} t=x+1-y$ 确定, 则 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{x=0}=$
常微分方程 $x^2 y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-4 y=0(x>0)$ 的通解为
已知二阶常系数齐次线性微分方程的一个特解为 $y=x e^x$, 则该方程为:
设 $y=y(x)$ 是初值问题 $\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=1, \\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=1\end{array}\right.$ 的解, 则 $y(x)=$