一、填空题 （共 10 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x(x-t) f(t) \mathrm{d} t}{x \int_0^x f(x-t) \mathrm{d} t}$, 其中 $f(x)$ 连续且 $f(0) \neq 0$.
设 $f(x)$ 是周期为 2 的连续函数:
(1) 证明对任意实数 $t$ ，有 $\int_t^{t+2} f(x) \mathrm{d} x=\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x$ ；
(2) 证明 $G(x)=\int_0^x\left[2 f(t)-\int_t^{t+2} f(s) \mathrm{d} s\right] \mathrm{d} t$ 是周期为 2 的周 期函数.
设 $f(x)=\int_1^x \frac{\ln t}{1+t} \mathrm{~d} t$ ，其中 $x>0$ ，求 $f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)$.
设 $f(x)$ 是区间 $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的单调、可导函数，且满足
$$
\int_0^{f(x)} f^{-1}(t) \mathrm{d} t=\int_0^x t \frac{\cos t-\sin t}{\sin t+\cos t} \mathrm{~d} t
$$
其中 $f^{-1}$ 是 $f$ 的反函数，求 $f(x)$.
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内满足
$$
f(x)=f(x-\pi)+\sin x ，
$$
且 $f(x)=x, x \in[0, \pi)$ ，计算 $I=\int_\pi^{3 \pi} f(x) \mathrm{d} x$.
设函数 $f(x)$ 可导，且 $f(0)=0$ ，
$$
F(x)=\int_0^x t^{n-1} f\left(x^n-t^n\right) \mathrm{d} t,
$$
求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{F(x)}{x^{2 n}}$.
设函数 $f(x)$ 连续， $g(x)=\int_0^1 f(x t) \mathrm{d} t$ ，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=A$ ， $A$ 为常数. 求 $g^{\prime}(x)$ 并讨论 $g^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性.
求 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt[3]{x} \int_x^{x+1} \frac{\sin t}{\sqrt{t+\cos t}} \mathrm{~d} t$.
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上具有连续导数，且
$$
|f(x)| \leq 1, f^{\prime}(x)>0, x \in(-\infty,+\infty),
$$
证明：对于 $0 < \alpha < \beta$ ，成立
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_\alpha^\beta f^{\prime}\left(n x-\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x=0
$$
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且
$$
F(x)=\int_0^x(x-2 t) f(t) \mathrm{d} t ，
$$
试证: (1) 若 $f(x)$ 为偶函数，则 $F(x)$ 也是偶函数；
(2) 若 $f(x)$ 单调不增，则 $F(x)$ 单调不减.