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CFMTC教育科学研究院--非数B类数学专项--定积分专项训练--陕西版

数学

一、填空题（共 10 题），请把答案直接填写在答题纸上

1. 求

lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} (x - t) f (t) d t}{x \int_{0}^{x} f (x - t) d t}

, 其中

f (x)

连续且

f (0) \neq 0

.

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2. 设

f (x)

是周期为 2 的连续函数:
(1) 证明对任意实数

t

，有

\int_{t}^{t + 2} f (x) d x = \int_{0}^{2} f (x) d x

；
(2) 证明

G (x) = \int_{0}^{x} [2 f (t) - \int_{t}^{t + 2} f (s) d s] d t

是周期为 2 的周期函数.

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3. 设

f (x) = \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{1 + t} d t

，其中

x > 0

，求

f (x) + f (\frac{1}{x})

.

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4. 设

f (x)

是区间

[0, \frac{π}{4}]

上的单调、可导函数，且满足

\int_{0}^{f (x)} f^{- 1} (t) d t = \int_{0}^{x} t \frac{\cos t - \sin t}{\sin t + \cos t} d t

其中

f^{- 1}

是

f

的反函数，求

f (x)

.

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5. 设

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内满足

f (x) = f (x - π) + \sin x ，

且

f (x) = x, x \in [0, π)

，计算

I = \int_{π}^{3 π} f (x) d x

.

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6. 设函数

f (x)

可导，且

f (0) = 0

，

F (x) = \int_{0}^{x} t^{n - 1} f (x^{n} - t^{n}) d t,

求

lim_{x \to 0} \frac{F (x)}{x^{2 n}}

.

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7. 设函数

f (x)

连续，

g (x) = \int_{0}^{1} f (x t) d t

，且

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x} = A

，

A

为常数. 求

g^{'} (x)

并讨论

g^{'} (x)

在

x = 0

处的连续性.

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8. 求

lim_{x \to + \infty} \sqrt[3]{x} \int_{x}^{x + 1} \frac{\sin t}{\sqrt{t + \cos t}} d t

.

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9. 设

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

上具有连续导数，且

| f (x) | \leq 1, f^{'} (x) > 0, x \in (- \infty, + \infty),

证明：对于

0 < α < β

，成立

lim_{n \to \infty} \int_{α}^{β} f^{'} (n x - \frac{1}{x}) d x = 0

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10. 设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内连续，且

F (x) = \int_{0}^{x} (x - 2 t) f (t) d t ，

试证: (1) 若

f (x)

为偶函数，则

F (x)

也是偶函数；
(2) 若

f (x)

单调不增，则

F (x)

单调不减.

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