单选题 （共 35 题 ），每题只有一个选项正确
设 $I=\int_a^{a+k \pi}|\sin x| \mathrm{d} x, k$ 为整数，则 $I$ 的值（）
$\text{A.}$ 只与 $a$ 有关
$\text{B.}$ 只与 $k$ 有关
$\text{C.}$ 与 $a, k$ 均有关
$\text{D.}$ 与 $a, k$ 均无关
下列积分中, 发散的是
$\text{A.}$ $\int_1^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} \sin x \mathrm{~d} x$.
$\text{B.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{x^2} \mathrm{~d} x$.
$\text{C.}$ $\int_0^1 \frac{\ln (1+x)}{x^2} \mathrm{~d} x$.
$\text{D.}$ $\int_0^1 \frac{x-1}{\ln x} \mathrm{~d} x$.
已知偶函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续, $F(x)=\int_0^x t f(x-t) d t$, 则
$\text{A.}$ $F(x)$ 是偶函数.
$\text{B.}$ $F(x)$ 是奇函数.
$\text{C.}$ $F(x)$ 既非奇函数, 也非偶函数.
$\text{D.}$ $F(x)$ 的奇偶性无法确定.
设 $b>0>a$ ，则
$\text{A.}$ $a e ^a\left( e ^b-1\right)>b e ^b\left( e ^a-1\right)$.
$\text{B.}$ $a e ^a\left( e ^b-1\right) < b e ^b\left( e ^a-1\right)$.
$\text{C.}$ $b e ^a\left( e ^b-1\right)>a e ^b\left( e ^a-1\right)$.
$\text{D.}$ $b e ^a\left( e ^b-1\right) < a e ^b\left( e ^a-1\right)$.
设 $f(x)=\int_0^{|\sin x|} e ^{t^2} d t, g(x)=\int_0^{|x|} \sin t^2 d t$, 则在 $(-\pi, \pi)$ 内,
$\text{A.}$ $f(x)$ 是可导的奇函数.
$\text{B.}$ $g(x)$ 是可导的偶函数。
$\text{C.}$ $f(x)$ 是奇函数且 $f^{\prime}(0)$ 不存在。
$\text{D.}$ $g(x)$ 是偶函数且 $g^{\prime}(0)$ 不存在.
设 $a>1, I_1=\int_0^a e ^{-x^2} d x, I_2=\int_0^1 a e ^{-x^2} d x, I_3=\int_0^1 e ^{-(a x)^2} d x$, 则
$\text{A.}$ $I_1>I_3>I_2$.
$\text{B.}$ $I_1>I_2>I_3$.
$\text{C.}$ $I_2>I_1>I_3$.
$\text{D.}$ $I_2>I_3>I_1$.
设 $b>0>a$, 则
$\text{A.}$ $a e ^a\left( e ^b-1\right) < b e ^b\left( e ^a-1\right)$.
$\text{B.}$ $a e ^a\left( e ^b-1\right)>b e ^b\left( e ^a-1\right)$.
$\text{C.}$ $b e ^a\left( e ^b-1\right) < a e ^b\left( e ^a-1\right)$.
$\text{D.}$ $b e ^a\left( e ^b-1\right)>a e ^b\left( e ^a-1\right)$.
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, $f(x)>0, F(x)=\int_a^x f(t) d t+\int_b^x \frac{1}{f(t)} d t$, 则方程 $F(x)=0$ 在 $[a, b]$上不同实根的个数为（）
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
已知 $f(x)=\max \left\{1, x^2\right\}$, 则 $\int f(x) d x=$
$\text{A.}$ $\begin{cases}\frac{x^3}{3}-\frac{2}{3}+C, & x < -1 \\ x+C, & -1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^3}{3}+\frac{2}{3}+C, & x>1\end{cases}$
$\text{B.}$ $\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^3}{3}+C, & x < -1 \\ x+C, & -1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^3}{3}+C, & x>1\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^3}{3}+C_1, & x < -1 \\ x+C_2, & -1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^3}{3}+C_3, & x>1\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $\left\{\begin{array}{l}\frac{x^3}{3}-\frac{4}{3}+C, \quad x < -1 \\ x+C, \quad-1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^3}{3}+\frac{2}{3}+C, \quad x>1\end{array}\right.$
若 $I=\int_0^{+\infty} e^{-p x} \cos q x d x$ 收敛, 则
$\text{A.}$ $p \leq 0, I=q^2$
$\text{B.}$ $p \leq 0, I=p^2+q^2$
$\text{C.}$ $p>0, I=\frac{1}{p^2+q^2}$
$\text{D.}$ $p>0, I=\frac{p}{p^2+q^2}$
设 $f(x)=\int_{-1}^x t \cos t d t, x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, 则曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴所围图形的面积为 $(\quad)$
$\text{A.}$ $2 \int_0^1 x \sin x d x$.
$\text{B.}$ $2 \int_0^1 x^2 \sin x d x$.
$\text{C.}$ $2 \int_0^1 x \cos x d x$.
$\text{D.}$ $2 \int_0^1 x^2 \cos x d x$.
设 $I_1=\int_{-1}^1 e ^{-\frac{x^2}{2}} d x, I_2=\sqrt{2 \pi\left(1- e ^{-1}\right)}, I_3=4\left(1- e ^{-\frac{1}{2}}\right)$, 则 $I_1, I_2, I_3$ 的大小关系为 $(\quad)$
$\text{A.}$ $I_3>I_1>I_2$.
$\text{B.}$ $I_1>I_3>I_2$.
$\text{C.}$ $I_2>I_1>I_3$.
$\text{D.}$ $I_2>I_3>I_1$.
设函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内连续, 且 $f(0,0) \neq 0$, 则极限 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\iint_{|x|+|y| \leq \sqrt{t}} f(x, y) d \sigma}{\int_0^t f(x, x) d x}=$ ).
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ $f(0,0)$
$\text{D.}$ $\pi$
设 $f(x)=\int_0^x\left( e ^{\cos t} \cos t-k\right) d t$, 若积分 $\int_a^{a+2 \pi} f(x) d x$ 的值与 $a$ 无关, 则 $k=(\quad)$.
$\text{A.}$ $\int_0^{2 \pi} e ^{\cos x} \cos x d x$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} e ^{\cos x} \cos x d x$
$\text{C.}$ $\int_0^\pi e^{\cos x} \cos x d x$
$\text{D.}$ 0
一个容器的内侧是由曲线 $x^2+y^2=a^2\left(y \leq \frac{a}{2}, a>0\right)$ 绕 $y$ 轴旋转一周而成的曲面, 其中长度单位为 $m$ ，重力加速度为 $g\left(m / s^2\right)$ ，水的密度为 $\rho\left( kg / m ^3\right)$ ，若将容器内盛满的水从容器中全部抽出至少需要做的功为（）
$\text{A.}$ $\frac{45}{64} \rho g \pi a^4(J)$
$\text{B.}$ $\frac{45}{32} \rho g \pi a^4(J)$
$\text{C.}$ $\frac{45}{16} \rho g \pi a^4(J)$
$\text{D.}$ $\frac{45}{8} \rho g \pi a^4(J)$
已知函数 $f(x)=\int_0^x e^{t^2} \sin t d t, g(x)=\int_0^x e^{r^2} d t \cdot \sin ^2 x$, 则 $(\quad)$
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点, 也是 $g(x)$ 的极值点
$\text{B.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点, $(0,0)$ 是曲线 $y=g(x)$ 的拐点
$\text{C.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点, $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{D.}$ $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点, 也是曲线 $y=g(x)$ 的拐点
设单位质点 $P, Q$ 分别位于点 $(0,0)$ 和 $(0,1)$ 处, $P$ 从点 $(0,0)$ 出发沿 $x$ 轴正向移动, 记 $G$ 为引力常量,则当质点 $P$ 移动到点 $(l, 0)$ 时, 克服质点 $Q$ 的引力所做的功为
$\text{A.}$ $\int_0^l \frac{G}{x^2+1} d x$
$\text{B.}$ $\int_0^l \frac{G x}{\left(x^2+1\right)^{\frac{3}{2}}} d x$
$\text{C.}$ $\int_0^l \frac{G}{\left(x^2+1\right)^{\frac{3}{2}}} d x$
$\text{D.}$ $\int_0^l \frac{G(x+1)}{\left(x^2+1\right)^{\frac{3}{2}}} d x$
已知函数 $f(x)=\int_0^x e ^{t^2} \sin t d t, g(x)=\int_0^x e ^{t^2} d t \cdot \sin ^2 x$, 则
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点, 也是 $g(x)$ 的极值点.
$\text{B.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点, $(0,0)$ 是曲线 $y=g(x)$ 的拐点.
$\text{C.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点, $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
$\text{D.}$ $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点, $(0,0)$ 也是曲线 $y=g(x)$ 的拐点.
设 $I=\int_0^1 \ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right) d x, J=\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} d x, K=\int_0^1 \arctan x d x$, 则 ( )
$\text{A.}$ $I < J < K$
$\text{B.}$ $K < J < I$
$\text{C.}$ $I < K < J$
$\text{D.}$ $J < K < I$
积分 $\int_0^1 x^a|\ln x|^b d x$ 收敛，则（）
$\text{A.}$ $a>-1, b>-1$ ．
$\text{B.}$ $a>-1, b < -1$ ．
$\text{C.}$ $a < -1, b>-1$ ．
$\text{D.}$ $a < -1, b < -1$ ．
已知 $I_1=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos (\cos x)}{2} d x, I_2=\int_{-1}^1 \frac{(1+\sin x)^2}{2\left(1+\sin ^2 x\right)} d x, I_3=\int_{-1}^1 f(x) d x$ ，其中 $f(x)$ 二阶可导，且 $f(0)=0, f^{\prime \prime}(x) < 3$ ，则三者的大小关系为 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_3 < I_1 < I_2$
$\text{C.}$ $I_2 < I_1 < I_3$
$\text{D.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
若反常积分 $\int_0^{e^2} \frac{d x}{\sqrt{x}|\ln \sqrt{x}|^p}$ 收敛，则参数 $p$ 的取值范围为（ ）．
$\text{A.}$ $p \leqslant 1$
$\text{B.}$ $p \geqslant 2$
$\text{C.}$ $p < 1$
$\text{D.}$ $p < \frac{1}{2}$
已知 $f(x)$ 是以 2 为周期的偶函数，当 $x \in[0,1]$ 时，$f^{\prime}(x)=\arcsin \sqrt{2 x-x^2}, f(0)=0$ ，则 $f(x)$ 在 $[-1,5]$ 上的平均值为 () ．
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{16}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{8}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{12}$
设 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上连续，且 $f(x)+f(2-x) \neq 0$ ，则 $I=\int_0^2 \frac{f(x)}{f(x)+f(2-x)}\left(2 x-x^2\right) d x=$
$\text{A.}$ 0 ．
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$ ．
$\text{D.}$ $\frac{2}{3}$ ．
设 $I(s)=\int_0^1|\ln | s-t| | d t, s \in[0,1]$ ，则 $I(s)$ 的最大值为
$\text{A.}$ $\ln 2$
$\text{B.}$ $1+\ln 2$
$\text{C.}$ $2+\ln 2$
$\text{D.}$ $3+\ln 2$
若反常积分 $\int_0^1 \frac{\ln x}{\sin ^a\left(\frac{\pi}{2} x\right) \cdot \cos ^{1-a}\left(\frac{\pi}{2} x\right)} d x$ 收敛，则 $a$ 的取值范围是（ ）
$\text{A.}$ $-1 < a < 1$
$\text{B.}$ $0 < a < 1$
$\text{C.}$ $0 < a < 2$
$\text{D.}$ $-1 < a < 0$
下列反常积分发散的是（ ）
$\text{A.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{1+x}} d x$
$\text{B.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{\sin ^2 x}{x^{\frac{3}{2}} \ln (1+x)} d x$
$\text{C.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{\arctan x^2}{x^2 \ln x} d x$
$\text{D.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{\left( e ^{-x}-1\right) \ln (1+\sqrt{x})}{x^2} d x$
$I_1=\int_0^1 \frac{ e ^{x^2}-1}{x^2} d x, I_2=\int_0^1 \frac{ e ^x-1}{x} d x, I_3=\frac{1}{2} \int_0^1 e ^{x^2} d x$ ，则（ ）
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_2 < I_1 < I_3$
$\text{C.}$ $I_3 < I_1 < I_2$
$\text{D.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
已知函数 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上连续，且满足 $f(x)=\sqrt{1-\sin 2 x}-\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \sin x d x$ ，则 $f(x)=()$
$\text{A.}$ $\sqrt{1-\sin 2 x}-\frac{1}{2}$ ．
$\text{B.}$ $\sqrt{1-\sin 2 x}-\frac{1}{4}$ ．
$\text{C.}$ $\sqrt{1-\sin 2 x}+\frac{1}{4}$ ．
$\text{D.}$ $\sqrt{1-\sin 2 x}+\frac{1}{2}$ ．
函数 $f(x)=\int_x^{x+\frac{\pi}{2}} \sin ^2 t d t$ 在 $[0, \pi]$ 上的最小值和最大值分别为（ ）。
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}, \frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}, \frac{\pi}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{4}-\frac{1}{4}, \frac{\pi}{4}+\frac{1}{4}$
设函数 $f(x)$ 连续，则下列函数必为偶函数的是 () ．
$\text{A.}$ $\int_0^x t[f(t)+f(-t)] \mathrm{d} t$ ．
$\text{B.}$ $\int_0^x t[f(t)-f(-t)] \mathrm{d} t$ ．
$\text{C.}$ $\int_0^x f\left(t^2\right) \mathrm{d} t$ ．
$\text{D.}$ $\int_0^x f^2(t) \mathrm{d} t$ ．
设 $I_i=\iint_{D_i} \mathrm{e}^{-\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} \sigma, i=1,2,3$ ，其中 $D_1=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant R^2\right\}, D_2=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 2 R^2\right\}, D_3= \{(x, y)||x| \leqslant R,|y| \leqslant R\}, R>0$ ，则
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$ ．
$\text{B.}$ $I_2 < I_3 < I_1$ ．
$\text{C.}$ $I_1 < I_3 < I_2$ ．
$\text{D.}$ $I_3 < I_2 < I_1$ ．
设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上单调增加的连续函数，则
$\text{A.}$ $\int_0^{\int_0^1 e^{-t^2} \mathrm{~d} t} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_0^1 f(x) \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x$ ．
$\text{B.}$ $\int_0^{\int_0^1 e^{-t^2} \mathrm{~d} t} f(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_0^1 f(x) \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x$ ．
$\text{C.}$ $\int_0^{\int_0^1 e^{-t^2} \mathrm{~d} t} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$ ．
$\text{D.}$ $\int_0^{\int_0^1 e^{-t^2} \mathrm{~d} t} f(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$ ．
设一单位质量细杆的长为 $1, G$ 为引力常数。当质量为 $a$ 的质点在细杆延长线上距杆右端点的 $\frac{1}{2}$ 处移至 $\frac{1}{3}$ 处时，引力做功大小为
$\text{A.}$ $G a \ln \frac{4}{3}$ ．
$\text{B.}$ $G a \ln \frac{5}{3}$ ．
$\text{C.}$ $G a \ln 2$ ．
$\text{D.}$ $G a \ln 3$ ．
若反常积分 $I=\int_1^{+\infty} \frac{x+1}{x^p \sqrt{x^q-1}} \mathrm{~d} x$ 收敛（ $p, q$ 为正常数），则 $p, q$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\frac{p}{2}+\frac{q}{4} < 1$ ．
$\text{B.}$ $0 < q < 2, p+q>2$ ．
$\text{C.}$ $\frac{p}{2}+\frac{q}{4}>1$ ．
$\text{D.}$ $q>2, p+\frac{q}{2}>4$ ．