单选题 （共 29 题 ），每题只有一个选项正确
函数 $y=C_1 e^x+C_2 e^{-2 x}+x e^x$ 满足一个微分方程是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 x e^x$
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 e^x$
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 x e^x$
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 e^x$
设非齐次线性微分方程 $y^{\prime}+P(x) y=Q(x)$ 有两个不同的解 $y_1(x), y_2(x), C$ 为任意常数，则该方程的通解是
$\text{A.}$ $C\left[y_1(x)-y_2(x)\right]$
$\text{B.}$ $y_1(x)+C\left[y_1(x)-y_2(x)\right]$
$\text{C.}$ $C\left[y_1(x)+y_2(x)\right]$
$\text{D.}$ $y_1(x)+C\left[y_1(x)+y_2(x)\right]$
在下列微分方程中，以
$$
y=C_1 e^x+C_2 \cos 2 x+C_3 \sin 2 x
$$
$\left(C_1, C_2, C_3\right.$ 为任意的常数) 为通解的是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-4 y=0$
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0$
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0$
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-4 y=0$
在下列微分方程中，以 $y=C_1 e^x+C_2 \cos 2 x+C_3 \sin 2 x$ $\left(C_1, C_2, C_3\right.$ 为任意的常数) 为通解的是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-4 y=0$
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0$
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0$
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-4 y=0$
设 $y_1, y_2$ 是一阶线性非齐次微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$的两个特解，若常数 $\lambda, \mu$ 使 $\lambda y_1+\mu y_2$ 是该方程的解， $\lambda y_1-\mu y_2$ 是该方程对应的齐次方程的解，则
$\text{A.}$ $\lambda=\frac{1}{2}, \mu=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\lambda=-\frac{1}{2}, \mu=-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{2}{3}$
设 $y_1, y_2$ 是一阶线性非齐次微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$的两个特解，若常数 $\lambda, \mu$ 使 $\lambda y_1+\mu y_2$ 是该方程的解， $\lambda y_1-\mu y_2$ 是该方程对应的齐次方程的解，则
$\text{A.}$ $\lambda=\frac{1}{2}, \mu=\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $\lambda=-\frac{1}{2}, \mu=-\frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{1}{3}$.
$\text{D.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{2}{3}$.
微分方程 $y^{\prime \prime}-\lambda^2 y=e^{\lambda x}+e^{-\lambda x}(\lambda>0)$ 的特解形式为
$\text{A.}$ $a\left(e^{\lambda x}+e^{-\lambda x}\right)$
$\text{B.}$ $a x\left(e^{\lambda x}+e^{-\lambda x}\right)$
$\text{C.}$ $x\left(a e^{\lambda x}+b e^{-\lambda x}\right)$
$\text{D.}$ $x^2\left(a e^{\lambda x}+b e^{-\lambda x}\right)$
设 $y=\frac{1}{2} e^{2 x}+\left(x-\frac{1}{3}\right) e^x$ 是二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=c e^x$ 的一个特解，则
$\text{A.}$ $a=-3, b=2, c=-1$
$\text{B.}$ $a=3, b=2, c=-1$
$\text{C.}$ $a=-3, b=2, c=1$
$\text{D.}$ $a=3, b=2, c=1$
若 $y=\left(1+x^2\right)^2-\sqrt{1+x^2}, y=\left(1+x^2\right)^2+\sqrt{1+x^2}$是微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 的两个解，则 $q(x)=$
$\text{A.}$ $3 x\left(1+x^2\right)$
$\text{B.}$ $-3 x\left(1+x^2\right)$
$\text{C.}$ $\frac{x}{1+x^2}$
$\text{D.}$ $-\frac{x}{1+x^2}$
微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+8 y=e^{2 x}(1+\cos 2 x)$ 的特解可设为 $y^*=(\quad)$
$\text{A.}$ $A e^{2 x}+e^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$
$\text{B.}$ $A x e^{2 x}+e^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$
$\text{C.}$ $A e^{2 x}+x e^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$
$\text{D.}$ $A x e^{2 x}+x e^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$
已知微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=c e^x$ 的通解为 $y=\left(C_1+C_2 x\right) e^{-x}+e^x$ ，则 $a, b, c$ 依次为
$\text{A.}$ ${1 , 0 , 1}$
$\text{B.}$ $1,0,2$
$\text{C.}$ $2,1,3$
$\text{D.}$ $2,1,4$
已知微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=c e^x$ 的通解为
$$
y=\left(C_1+C_2 x\right) e^{-x}+e^x,
$$
则 $a, b, c$ 依次为
$\text{A.}$ ${1 , 0 , 1}$
$\text{B.}$ ${1 , 0 , 2}$
$\text{C.}$ $2,1,3$
$\text{D.}$ $2,1,4$
若微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的解在 $(-\infty,+\infty)$ 上有界，则 $($ )
$\text{A.}$ $a < 0, b>0$
$\text{B.}$ $a>0, b>0$
$\text{C.}$ $a=0, b>0$
$\text{D.}$ $a=0, b < 0$
若微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的解在 $(-\infty,+\infty)$ 上有界，则 $($ )
$\text{A.}$ $a < 0, b>0$
$\text{B.}$ $a>0, b>0$
$\text{C.}$ $a=0, b>0$
$\text{D.}$ $a=0, b < 0$
若微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的解在 $(-\infty,+\infty)$ 上有界，则 $($ )
$\text{A.}$ $a < 0, b>0$
$\text{B.}$ $a>0, b>0$
$\text{C.}$ $a=0, b>0$
$\text{D.}$ $a=0, b < 0$
设函数 $y=f(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t^3, \\ y=\mathrm{e}^{t^2}\end{array}\right.$ 确定，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(f\left(2+\frac{2}{x}\right)-f(2)\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ 2 e
$\text{B.}$ $\frac{4}{3} \mathrm{e}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{3} \mathrm{e}$
$\text{D.}$ $\frac{\mathrm{e}}{3}$
设当 $x>0$ 时, 函数 $f(x)$ 满足方程 $x f^{\prime}(x)-\alpha f(x)=x^a$ ( $\alpha$ 为常数), 且 $f(1)=0$. 若 $f(x)$在 $(0,+\infty)$ 内有最大值 1 , 则常数 $\alpha$ 的值为
$\text{A.}$ $-\frac{1}{\mathrm{e}}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{\mathrm{e}}$.
$\text{C.}$ -e .
$\text{D.}$ e.
设 $A, B, C$ 为常数，则微分方程 $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-2 y= e ^x \sin ^2 x$ 有特解形如（）
$\text{A.}$ $e ^x(A+B \cos 2 x+C \sin 2 x)$.
$\text{B.}$ $e ^x(A-B x \cos 2 x-C x \sin 2 x)$.
$\text{C.}$ $e ^x(A x+B \cos 2 x+C \sin 2 x)$.
$\text{D.}$ $e ^x(A x-B x \cos 2 x-C x \sin 2 x)$.
微分方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y= e ^{-x}(\cos x+1)$ 的特解形式为 ( ).
$\text{A.}$ $e ^{-x}(a \cos x+b \sin x+c)$
$\text{B.}$ $x e ^{-x}(a \cos x+b \sin x+c)$
$\text{C.}$ $e ^{-x}(a x \cos x+b x \sin x+c)$
$\text{D.}$ $e ^{-x}(a \cos x+b \sin x+c x)$
设二阶常系数齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+y=0$ 的每一个解 $y(x)$ 都在区间 $(0,+\infty)$ 上有界, 则实数 $b$ 的取值范围是( )
$\text{A.}$ $[0,+\infty)$
$\text{B.}$ $(-\infty, 0)$
$\text{C.}$ $(-\infty, 4)$
$\text{D.}$ $(-\infty,+\infty)$
设函数 $y(x)$ 满足方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+k y=0(0 < k < 1)$, 则以下选项中必定收敛的是 $(\quad)$
$\text{A.}$ $\int_0^{+\infty} y(x) d x$
$\text{B.}$ $\int_0^{-\infty} y(x) d x$
$\text{C.}$ $\int_0^{+\infty} x^2 y(x) d x$
$\text{D.}$ $\int_0^{+\infty} x^{-2} y(x) d x$
如果对微分方程 $y^{\prime \prime}-2 a y^{\prime}+(a+2) y=0$ 的任一解 $y(x)$, 反常积分 $\int_0^{+\infty} y(x) d x$ 均收敛, 那么 $a$ 的取值范围是( )
$\text{A.}$ $(-2,-1]$
$\text{B.}$ $(-\infty,-1]$
$\text{C.}$ $(-2,0)$
$\text{D.}$ $(-\infty, 0)$
设可导函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上是方程 $y^{\prime \prime}-y^{\prime}=0$ 的解，并且在 $(-\infty, 0]$ 上满足 $f(x)=$ $g(x)$ ．若 $f(1)>1$ ，则 $g(x)$ 可能为 ()
$\text{A.}$ $x$ ．
$\text{B.}$ $x^2$ ．
$\text{C.}$ $x^3$ ．
$\text{D.}$ $x^4$ ．
设 $y=y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime \prime}-a y^{\prime}+b y=0$ 的解，其中常数 $a < 0, b>0$ ，且某点 $x=x_0$ 处的函数值 $y\left(x_0\right)$ 及导数值 $y^{\prime}\left(x_0\right)$ 已知，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} y(x)(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 与参数 $a, b$ 有关，与 $y\left(x_0\right)$ 及 $y^{\prime}\left(x_0\right)$ 也有关
$\text{B.}$ 与参数 $a, b$ 无关，与 $y\left(x_0\right)$ 及 $y^{\prime}\left(x_0\right)$ 有关
$\text{C.}$ 与参数 $a, b$ 有关，与 $y\left(x_0\right)$ 及 $y^{\prime}\left(x_0\right)$ 无关
$\text{D.}$ 与参数 $a, b$ 无关，与 $y\left(x_0\right)$ 及 $y^{\prime}\left(x_0\right)$ 也无关
微分方程 $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-2 y=3^x+x e ^{-x} \cos x$ ，下列 $a, b, b_1, b_2, c, c_1, c_2, d$ 均为任意常数，则其特解形式为（ ）。
$\text{A.}$ $a \cdot 3^x+x e ^{-x}\left[\left(b_1 x+c_1\right) \cos x+\left(b_2 x+c_2\right) \sin x\right]$
$\text{B.}$ $e \cdot 3^x+ e ^{-x}[(a x+b) \cos x+(c x+d) \sin x]$
$\text{C.}$ $a \cdot 3^x+x e ^{-x}(b x+c) \cos x$
$\text{D.}$ $3^x+ e ^{-x}[(a x+b) \cos x+(c x+d) \sin x]$
已知 $\sin ^4 x-\frac{3}{8}$ 为 $y^{(4)}+a y^{\prime \prime \prime}+b y^{\prime \prime}+c y^{\prime}+d y=0$ 的解，则 $a+b+c+d=()$
$\text{A.}$ 54 ．
$\text{B.}$ 64 ．
$\text{C.}$ 84 ．
$\text{D.}$ 124 ．
设 $y=y(x)$ 为微分方程 $2 x y d x+\left(x^2-1\right) d y=0$ 满足初始条件 $y(0)=1$ 的特解，则 $\int_0^{\frac{1}{2}} y(x) d x=(\quad)$.
$\text{A.}$ $-\ln 3$
$\text{B.}$ $\ln 3$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2} \ln 3$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} \ln 3$
设函数 $y_1(x), y_2(x), y_3(x)$ 分别为一阶非齐次线性微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 的三个不同的解，已知 $y_1(0)=a, y_2(0)=b, y_3(0)=c$ ，则下列说法中，正确的是
$\text{A.}$ $\frac{y_3(x)-y_1(x)}{y_2(x)-y_1(x)}$ 是否为常数与 $p(x), q(x)$ 有关．
$\text{B.}$ $\frac{y_3(x)-y_1(x)}{y_2(x)-y_1(x)}$ 是否为常数与 $a, b, c$ 的取值有关．
$\text{C.}$ 若 $a < b < c$ ，则 $\frac{y_3(x)-y_1(x)}{y_2(x)-y_1(x)}$ 必为大于 0 的常数．
$\text{D.}$ 若 $a < b < c$ ，则 $\frac{y_3(x)-y_1(x)}{y_2(x)-y_1(x)}$ 必为小于 0 的常数．
设 $f_1(x), f_2(x)$ 为二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0$ 的两个特解，$C_1, C_2$ 为两个任意常数，则 $C_1 f_1(x)+C_2 f_2(x)$ 是该方程通解的充分条件是
$\text{A.}$ $f_1(x) f_2^{\prime}(x)-f_2(x) f_1^{\prime}(x)=0$ ．
$\text{B.}$ $f_1(x) f_2^{\prime}(x)+f_2(x) f_1^{\prime}(x)=0$ ．
$\text{C.}$ $f_1(x) f_2^{\prime}(x)+f_2(x) f_1^{\prime}(x) \neq 0$ ．
$\text{D.}$ $f_1(x) f_2^{\prime}(x)-f_2(x) f_1^{\prime}(x) \neq 0$ ．