解答题 （共 16 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求微分方程 $y^{\prime \prime \prime}+6 y^{\prime \prime}+\left(9+a^{2}\right) y^{\prime}=1$ 的通解, 其中常数 $a>0$.
设函数 $y=y(x)$ 满足微分方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=2 \mathrm{e}^{x}$, 且其图形在点 $(0,1)$ 处的切线与曲线 $y=$ $x^{2}-x+1$ 在该点的切线重合, 求函数 $y=y(x)$.
设 $f(x)=\sin x-\int_{0}^{x}(x-t) f(t) \mathrm{d} t$, 其中 $f$ 为连续函数, 求 $f(x)$.
求微分方程 $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=e^{-2 x}$ 的通解（一般解)
求微分方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=\mathrm{e}^{-3 x}$ 的通解.
求微分方程 $x^{2} y^{\prime}+x y=y^{2}$, 满足初始条件 $\left.y\right|_{x=1}=1$ 的特解.
设物体 $A$ 从点 $(0,1)$ 出发, 以速度大小为常数 $v$ 沿 $y$ 轴正向运动. 物体 $B$ 从点 $(-1,0)$ 与$A$ 同时出发, 其速度大小为 $2 v$, 方向始终指向 $A$, 试建立物体 $B$ 的运动轨迹所满足的微分方 程, 并写出初始条件.
设 $f(x)$ 具有二阶连续导数, $f(0)=0, f^{\prime}(0)=1$, 且 $[x y(x+y)-f(x) y] \mathrm{d} x+\left[f^{\prime}(x)+x^{2} y\right] \mathrm{d} y=0$ 为一全微分方程, 求 $f(x)$ 及此全微分方程的通解.
设曲线 $L$ 位于 $x O y$ 平面的第一象限内, $L$ 上任一点 $M$ 处的切线与 $y$ 轴总相交, 交点记为 $A$. 已知 $|\overline{M A}|=|\overline{O A}|$, 且 $L$ 过点 $\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)$, 求 $L$ 的方程.
设对任意 $x>0$, 曲线 $y=f(x)$ 上点 $(x, f(x))$ 处的切线在 $y$ 轴上的截距等于 $\frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$, 求 $f(x)$ 的 一般表达式.
(1) 求微分方程 $x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=x-y$ 满足条件 $\left.y\right|_{x=\sqrt{2}}=0$ 的解.
(2) 求微分方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=x e^x$ 的通解.
求微分方程 $y^{\prime}+\frac{1}{x} y=\frac{1}{x\left(x^2+1\right)}$ 的通解.
微分方程 $x y^{\prime}+(1-x) y=e^{2 x}(0 < x < +\infty)$ 满足 $y(1)=0$ 的解.
求微分方程 $y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}+6 y=2 e^{-x}$ 的通解.
求微分方程 $x \ln x \mathrm{~d} y+(y-\ln x) \mathrm{d} x=0$ 满足条件 $\left.y\right|_{x=e}=1$ 的特解.
求微分方程 $x \ln x \mathrm{~d} y+(y-\ln x) \mathrm{d} x=0$ 满足条件 $\left.y\right|_{x=e}=1$ 的特解.