填空题 （共 35 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
差分方程 $y_{t+1}-2 y_t=2^t$ 的通解 $y_t=$
差分方程 $\Delta^2 y_x-y_x=5$ 的解为
微分方程 $2 y y^{\prime}-y^2-2=0$ 满足条件 $y(0)=1$ 的特解 $y=$ $\qquad$ .
设函数 $f(x)$ 满足在
$$
f^{\prime \prime}(x)+a f^{\prime}(x)+f(x)=0(a>0), f(0)=m, f^{\prime}(0)=n
$$
则 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=$
设 $y=y(x)$ 满足 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0$ ，且 $y(0)=0, y^{\prime}(0)=1$ ，则 $\int_0^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x=$
微分方程 $y^{\prime \prime \prime}-y=0$ 的通解为 $y=$
微分方程 $y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}=0$ 的通解为
设某公司在 $t$ 时刻的资产为 $f(t)$ ，从 0 时刻到 $t$ 时刻的平均资产等于 $\frac{f(t)}{t}-t$ ，假设 $f(t)$ 连续且 $f(0)=0$ ，则 $f(t)=$
微分方程 $y^{\prime}=\frac{1}{(x+y)^2}$ 满足 $y(1)=0$ 的解为
微分方程 $y^{\prime}=\frac{1}{(x+y)^2}$ 满足 $y(1)=0$ 的解为
微分方程 $3 x \mathrm{~d} y=y\left(1+2 x y^3 \ln x\right) \mathrm{d} x$ 满足条件 $y(1)=\sqrt[3]{2}$ 的解为 $y=$
设函数 $f(x)$ 连续, 且满足 $\int_0^x f(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{2} f(x)-\frac{1}{4}\left(\mathrm{e}^{2 x}-1\right)$, 则 $f^{(n)}(x)=$
$\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^4}=$
$\Delta^2 y_x+\Delta y_x-y_{x+2}-2 y_{x+1}=y_x$ 的通解为
设 $y=y(x)$ 满足 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y= e ^{-x}, y(0)=y^{\prime}(0)=1$, 则 $\int_0^{+\infty} x d y=$
设 $y=y(x)$ 满足 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y= e ^{-x}, y(0)=y^{\prime}(0)=1$, 则 $\int_0^{+\infty} x d y=$
设 $y=y(x)$ 满足 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y= e ^{-x}, y(0)=y^{\prime}(0)=1$, 则 $\int_0^{+\infty} x d y=$
微分方程 $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y= e ^{-2 x}$ 的通解为
差分方程 $2 y_{t+1}-6 y_t=5 \cdot 3^t$ 满足 $y_0=0$ 的特解为
微分方程 $(2 y-3 x) d x+(2 x-5 y) d y=0$ 满足条件 $y(1)=1$ 的解为
微分方程 $x y^{\prime}-y+x^2 e ^x=0$ 满足条件 $y(1)=- e$ 的解为 $y=$
若四阶常系数齐次线性微分方程有一个解为 $y=x e ^x \cos 2 x$, 则该方程的通解为
已知函数 $y=y(x)$ 满足 $\cos ^4 x \frac{d^2 y}{d x^2}+2 \cos ^2 x\left(1-\frac{1}{2} \sin 2 x\right) \frac{ d y}{d x}+y=\tan x$ ．
（1）用变换 $t=\tan x$ ，将题干微分方程化为 $y$ 关于 $t$ 的微分方程；
（2）若 $x=0$ 是函数的极值点，求函数 $y(x)$ 的表达式．
已知微分方程 $y^{\prime}-x \sin 2 y=\frac{\ln x}{\sqrt{\left(1+x^2\right)^3}} \cos ^2 y$ ，则不定积分 $\int x \tan y d x=$
已知函数 $f(u)$ 可微，且满足 $f\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{z}-\frac{1}{y}$ ，则 $y^2 z_y^{\prime}-x^2 z_x^{\prime}=$
通解为 $y=C_1 e ^{-x}+C_2 x$（ $C_1, C_2$ 是任意常数）的常微分方程是 $\qquad$ ．
微分方程 $y^{\prime \prime}+y=x+\cos ^2 x$ 的通解为
设函数 $g(x)$ 二阶可导且满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ e ^x g(x)-x}{x^2}=2, y=y(x)$ 由方程 $x y+y^3+ e ^x g(x)=1$ 确定，则 $y^{\prime \prime}(0)=$
微分方程 $y^{\prime}=\frac{y-x}{x+y+2}$ 的通解为
设 $f(x)$ 是定义在 $(-\infty,+\infty)$ 上以 $2 \pi$ 为周期的二阶可导函数，且满足等式 $f(x)+ 2 f^{\prime}(x+\pi)=\sin x$ ，则 $f(x)=$
设 $f(x)$ 是定义在 $(-\infty,+\infty)$ 上以 $2 \pi$ 为周期的二阶可导函数，且满足等式 $f(x)+ 2 f^{\prime}(x+\pi)=\sin x$ ，则 $f(x)=$
设 $F(x, y, z)=\left(y z^2-\cos z\right) i+2 x z^2 j+(2 x y z+x \sin z) k$ ，则 $\operatorname{rot} F(1,4,9)=$
设 $f(x)$ 为偶函数，且 $f^{\prime}(x)-\int_0^x f(t-x) \mathrm{d} t=2 \sin x$ ，则 $f(x)=$