单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A =\left(a_{i j}\right)$ 为 $n$ 阶矩阵, 且其元素满足 $a_{i j}=-a_{i j}, \beta$ 为 $n$ 维非零列向量, 矩阵 $B =\left(\begin{array}{cc} A & \beta \\ \beta ^{ T } & 0\end{array}\right)$, 则 $(\quad)$
$\text{A.}$ 若 $r( A )=n$, 则 $n$ 为奇数, 且 $r( B )=n$.
$\text{B.}$ 若 $r( A )=n$, 则 $n$ 为奇数, 且 $r( B )=n+1$.
$\text{C.}$ 若 $r( A )=n$, 则 $n$ 为偶数,且 $r( B )=n$.
$\text{D.}$ 若 $r( A )=n$, 则 $n$ 为偶数, 且 $r( B )=n+1$.
已知 $| A |=\left|\begin{array}{cccc}a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ 2 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 2 & 2\end{array}\right|=9$ ，则代数余子式 $A_{21}+A_{22}=$
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 9
$\text{D.}$ 12
设 $A$ 为 $n(n \geqslant 2)$ 阶矩阵，若 1 不是 $A$ 的特征值，且 $| A |=-1$ ，则下列命题中，正确的是（ ）
（1） 2 不是 $A + A ^{-1}$ 的特征值．
（2） 2 不是 $A + A ^*$ 的特征值．
（3）－ 1 不是 $A + A ^{ T }- A A ^{ T }$ 的特征值．
（4） 1 不是 $A - A ^*+ A A ^*$ 的特征值．
$\text{A.}$ （1）（2）．
$\text{B.}$ （3）（4）．
$\text{C.}$ （1）（4）．
$\text{D.}$ （2）（3）．
设 $A , B$ 均为 $n$ 阶矩阵，则下列各个命题中，不是齐次线性方程组 $A x = 0$ 与齐次线性方程组 $B x=0$ 同解的充分条件的是（ ）
$\text{A.}$ 矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 的行向量组等价
$\text{B.}$ 矩阵方程 $X B = A$ 有解，且 $r( B )=r( A )$
$\text{C.}$ 存在可逆矩阵 $P$ 使得 $A P = B$
$\text{D.}$ $r( A )=r( B )=r\left(\begin{array}{ll} A ^{ T } & B ^{ T }\end{array}\right)$
设 3 维行向量 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 是正交的单位向量， $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}$ ，则二次型 $f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 的规范形为（ ）。
$\text{A.}$ $y_1^2-y_2^2$ ．
$\text{B.}$ $y_1^2+y_2^2$ ．
$\text{C.}$ $y_1^2-y_2^2+y_3^2$ ．
$\text{D.}$ $y_1^2+y_2^2-y_3^2$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶矩阵，$r(\boldsymbol{A})=r, \boldsymbol{E}_r$ 为 $r$ 阶单位矩阵，则＂ $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}$＂是＂存在列满秩矩阵 $\boldsymbol{C}_{n \times r}$ ，使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{C B}, \boldsymbol{B C}=\boldsymbol{E}_r$＂的
$\text{A.}$ 充分非必要条件。
$\text{B.}$ 必要非充分条件．
$\text{C.}$ 充分必要条件．
$\text{D.}$ 既非充分又非必要条件．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
从 $R^2$ 的基 $\alpha_1=\binom{1}{0}, \alpha_2=\binom{1}{-1}$ 到基 $\beta_1=\binom{1}{1}, \beta_2=\binom{1}{2}$的过渡矩阵为
设 $A$ 为 3 阶正交矩阵，且 $| A | < 0$ 。交换 $A$ 的第二列和第三列，再将第二列的 -1 倍加到第一列，所得矩阵为 $B$, 则 $A ^* B =$
设三元二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)= x ^{ T } A x$ 经过正交变换化为标准形 $y_1^2-y_2^2+2 y_3^2$ ，则 $A ^3-2 A ^2-$ $A+4 E=$
设
$$
f(x)=\left|\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & x \\
1 & 2 & 0 & x^2 \\
1 & 3 & 3 & x^3 \\
1 & 4 & 6 & x^4
\end{array}\right|,
$$
则 $f(x+1)-f(x)=$ $\qquad$ ．
设 4 维非零列向量 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3, \boldsymbol{\beta}_4$ 与列向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 分别正交，若 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关，则向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3, \boldsymbol{\beta}_4$ 的秩为 $\_\_\_\_$ ．
设四元齐次线性方程组（I）$\left\{\begin{array}{l}2 x_1+3 x_2-x_3=0, \\ x_1+2 x_2+x_3-x_4=0,\end{array}\right.$ 且四元齐次线性方程组（II）的一个基础解系为 $\boldsymbol{\xi}_1=(2,-1, k+2,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\xi}_2=(-1,2,4, k+8)^{\mathrm{T}}$ ，若方程组（I）与（II）没有非零公共解，则 $k$ 的取值范围为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
若二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2+x_3^2-2 x_1 x_3$ 经正交变换 $x = Q y$ 化为二次型 $g\left(y_1, y_2, y_3\right)=$ $y_1^2+y_2^2+a y_3^2+2 y_1 y_2$, 求 $a$ 与矩阵 $Q$.
计算 $n$ 阶行列式：
$$
D=\left|\begin{array}{ccccccc}
1 & 2 & 3 & \cdots & (n-2) & (n-1) & n \\
1 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & -2 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & (n-2) & -(n-2) & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & (n-1) & -(n-1)
\end{array}\right|
$$
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 5 \\ 3 & 2 & 5\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 4\end{array}\right)$ 满足 $A X B=B X B+I$ ，其中 $I$ 是 3 阶单位矩阵，求 $X$ 。
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{P}=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ ，其中 $\alpha_1, \alpha_2$ 分别是 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 对应于特征值 -1 与 1 的特征向量，且 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}) \alpha_3-\alpha_2=\mathbf{0}$ ．
（1）证明 $\boldsymbol{P}$ 可逆；
（2）计算 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A}^* \boldsymbol{P}$ ．
设 $R^3$ 中，由第一组基 $\alpha_1=(7,-2,-5)^{\mathrm{T}}, \alpha_2=(-19,5,14)^T, \alpha_3=(-6,3,3)^T$到第二组基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 的过渡矩阵是 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right)$ ．
（1）求第二组基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$
（2）若向量 $\eta$ 在第二组基下的坐标是 $(-1,-1,1)$ ，求 $\eta$ 在第一组基下的坐标．
(1) $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵. $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 是 $A$ 的特征值, $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n$ 是 $A$ 的分别对应于 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 的标准正交特征向量. 证明 $A$ 可表示成 $n$ 个秩为 1 的实对称矩阵的和;
(2) 设 $A=\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 4 \\ -1 & 3 & -1 \\ 4 & -1 & 0\end{array}\right]$, 将 $A$ 表示成三个秩为 1 的实对称矩阵的和.
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，秩（ $\boldsymbol{A}$ ）$=r$ ，证明： $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}$ 的充分必要条件是存在 $r \times n$ 矩阵 $\boldsymbol{B}$ 和 $n \times r$ 矩阵 $\boldsymbol{C}$ ，使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{C B}$ ，且 $\boldsymbol{B C}=\boldsymbol{I}_r$ ，其中秩 $(\boldsymbol{B})=$ 秩 $(\boldsymbol{C})=r$ ， $\boldsymbol{I}_r$ 为 $r$ 阶单位阵。
设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶方阵， $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 分别为 $\boldsymbol{A}$ 的特征值 -1 和 1 对应的特征向量， $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_3=\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3$ ，证明：向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关．