单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
曲线 $y=\frac{3 x^3}{2-x^2}+\operatorname{arccot}(x+2)$ 的渐近线条数为
$\text{A.}$ 4 ．
$\text{B.}$ 3 ．
$\text{C.}$ 2.
$\text{D.}$ 1 ．
设 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上连续，且 $f(x)+f(2-x) \neq 0$ ，则 $I=\int_0^2 \frac{f(x)}{f(x)+f(2-x)}\left(2 x-x^2\right) d x=$
$\text{A.}$ 0 ．
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$ ．
$\text{D.}$ $\frac{2}{3}$ ．
设 $\alpha=(\cos 2 x)^{x-\ln (1+x)}-1, \beta=\ln \frac{1+x^2}{1-x^3}, \gamma=\int_0^{\arcsin ^2 x} \frac{\sin \sqrt{t}}{2+t^2} d t$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时，三个无穷小的阶数由低到高的顺序为（）。
$\text{A.}$ $\alpha, \gamma, \beta$
$\text{B.}$ $\alpha, \beta, \gamma$
$\text{C.}$ $\beta, \gamma, \alpha$
$\text{D.}$ $\gamma, \beta, \alpha$
设二阶常系数齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+y=0$ 的每一个解 $y(x)$ 都在区间 $(0,+\infty)$ 上有界, 则实数 $b$ 的取值范围是( )
$\text{A.}$ $[0,+\infty)$
$\text{B.}$ $(-\infty, 0)$
$\text{C.}$ $(-\infty, 4)$
$\text{D.}$ $(-\infty,+\infty)$
已知函数 $f(x)=\int_0^x e ^{t^2} \sin t d t, g(x)=\int_0^x e ^{t^2} d t \cdot \sin ^2 x$, 则
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点, 也是 $g(x)$ 的极值点.
$\text{B.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点, $(0,0)$ 是曲线 $y=g(x)$ 的拐点.
$\text{C.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点, $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
$\text{D.}$ $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点, $(0,0)$ 也是曲线 $y=g(x)$ 的拐点.
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设一平面经过原点及点 $(6,-3,2)$, 且与平面 $4 x-y+2 z=8$ 垂直, 求此平面方程。
曲线 $y=\cos x\left(x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\right)$ 与 $x$ 轴所围区域绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的侧面积 $S=$
设 $f(x)$ 连续，且 $f(x)+f(-x)=2$ ．求
$$
\int_{-1}^1\left(f(x)+x^2 \ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right) d x=
$$
设 $f(x)$ 为偶函数，且 $f^{\prime}(x)-\int_0^x f(t-x) \mathrm{d} t=2 \sin x$ ，则 $f(x)=$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(n \int_0^{\frac{1}{n}} e ^{t^2} d t\right)^{n^2+n-\sin n}=$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求过点 $(-1,0,4)$ 且平行于平面 $3 x-4 y+z=10$ ，又与直线 $L_1: x+1=y-3=\frac{z}{2}$ 相交的直线方程．
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{n^2+1}\left(\arctan \frac{n+1}{n}-\frac{\pi}{4}\right)$ ．
求 $\int \frac{x \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}{\left(1-x^2\right)^2} d x$.
计算定积分 $\int_0^\pi[x] x \sin x d x$ ，其中 $[ x ]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数．
已知曲线 $y=a \sqrt{x}(a>0)$ 与曲线 $y=\ln \sqrt{x}$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处有公切线，求：（1）常数 $a$ 及切点 $\left(x_0, y_0\right)$ ；（2）两曲线与 $x$ 轴围成的平面图形的面积 $S$ 及绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积 $V$ ．
设函数 $y(x)$ 满足方程
$$
y(x)=x^3-x \int_1^x \frac{y(t)}{t^2} \mathrm{~d} t+y^{\prime}(x), x>0
$$
且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{y(x)}{x^3}=\frac{2}{3}$ ．求函数 $y(x)$ ．
设 $f(t)=\left(\int_0^t \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x\right)^2, g(t)=\int_0^1 \frac{\mathrm{e}^{-t^2\left(1+x^2\right)}}{1+x^2} \mathrm{~d} x$ ，证明：$f(t)+g(t)=\frac{\pi}{4}$ ，并由此计算 $\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x$ ．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设可导函数 $f(x)$ 满足 $f(1)=1$ ，且对 $x \geq 1$ 时，有 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^2+f^2(x)}$ 。
（ I ）证明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在且有限；
（II）证明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) \leq 1+\frac{\pi}{4}$ 。
附加题（本题为附加题，全对才给分，其分数不计入总评，仅用于评判 $A +$ ）
设 $f \in C[0,1], ~ g$ 为非负的周期函数，周期为 1 ，且 $g \in R[0,1]$ ，求证：
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_0^1 f(x) g(n x) d x=\left(\int_0^1 f(x) d x\right)\left(\int_0^1 g(x) d x\right) .
$$