单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^2}{x+1}-a x-b\right)=0$ ，其中 $a, b$ 是常数，则 $\delta$
$\text{A.}$ $a=1, b=1$
$\text{B.}$ $a=-1, b=1$
$\text{C.}$ $a=1, b=-1$
$\text{D.}$ $a=-1, b=-1$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{3^x+\mathrm{e}^x-2}{x}, & x \neq 0, \\ a, & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 不可导
$\text{B.}$ $f^{\prime}(0)=\ln ^2 3+1$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}(\ln 3+1)$
$\text{D.}$ $f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}\left(\ln ^2 3+1\right)$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
求下列极限：
(1) $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^2+5}{5 x+3} \sin \frac{2}{x}=$
(2) $\lim _{n \rightarrow \infty}[\sqrt{1+2+\cdots+n}-\sqrt{1+2+\cdots+(n-1)}]=$
$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^3+x^2+1}{2^x+x^3}(\sin x+\cos x)=$
极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{\sin x}{x}-3 x \sin \frac{1}{x}\right)=$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x^3}$;
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} x \sin \frac{3}{x}=$
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{\sin x}=$
解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3 x}{\sin 2 x}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan m x}{\sin n x} \quad(m, n$ 为非零常数 $)$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos a x}{x^2}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{5 x-1}-\sqrt{2 x+5}}{x^2-4}$.
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{5 n^3}$;
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos 2 x}{x \sin x}$ ；
设 $f(z)=a \ln \left(x^2+y^2\right)+\operatorname{iarctan} \frac{y}{x}$ 在 $x>0$ 解析，试确定 $a$ 的值．
已知 $u(x, y)=x^2-y^2$ ，求 $v(x, y)$ ，使函数 $f(z)=u+ i v$ 在复平面解析．
(1) $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{2 x-\pi}$;
(2) $\lim _{n \rightarrow \infty} 3^n \sin \frac{\pi}{3^n}$.
设 $f(x)$ 定义在 $[a, b]$ 上。若对任意的 $t \in[a, b]$ ，均存在极限 $\lim _{x \rightarrow t} f(x)$ ，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界。
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin ^2 x}-\frac{1}{x^2}\right)$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-x}{x^2 \sin x}$