解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
研究数列 $\{\sqrt[n]{n}\}$ 是否单调，并求出该数列的极限．
用单调有界数列的收敛定理，证明 $\left\{\frac{n^5}{2^n}\right\}$ 收敛，并求其极限．
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\cos x-\cos 2 x}{x^2}, x < 0 \\ A, x=0 \\ \frac{\sin x-B \int_0^x e ^{-t^2} d t}{x}, x>0\end{array}\right.$ 处处连续，试确定常数 $A, B$ 的值．
设 $f(x)=\frac{\left(x^2-2 x-3\right) e ^{\frac{1}{x}}}{\left(x^2-1\right) \arctan x}$ ，求 $f(x)$ 的间断点，并判别类型．
（讨论 $x \rightarrow 0$ 时如果含有 $e ^{\frac{1}{x}},|x|=\sqrt{x^2}, ~ \arctan \frac{1}{x}, \operatorname{arccot} \frac{1}{x}$ ，我们一定要分成 $x \rightarrow 0^{+}, x \rightarrow 0^{-}$两种情况）
设 $f(x)=\frac{1}{1-x^2}$ ．
（1）求极限 $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left[f\left(1-\frac{1}{n+1}\right)-f\left(1-\frac{1}{n}\right)\right]$ ．
（2）证明：函数 $f(x)$ 在 $[0,1)$ 上不一致连续．
设函数 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续，且对于任意 $x \in I$ 均有 $|f(x)|>1$. 证明： $1 / f(x)$ 在区间 $I$ 上一致连续。