解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $a_1, a_2, ... a_n$ 为实常数, 证明:$ f(x)= a_1 \cos x+a_2 \cos 2 x+ ...+a_n \cos n x$
在 $(0, \pi)$ 内必有零点。
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上二阶连续可导且 $M_0=\sup \{|f(x)| \mid x \in(0,+\infty)\}$ 以及
$$
M_1=\sup \left\{\mid f^{\prime}(x) \| x \in(0,+\infty)\right\}, M_2=\sup \left\{\mid f^{\prime \prime}(x) \| x \in(0,+\infty)\right\}
$$
均为有限数，证明: $M_1 \leq 2 \sqrt{M_0 M_2}$.
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 上可导，且 $f(a)=f(b)=0$ ．证明：存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)-2 f(\xi)=0$
设 $f(x)$ 在 $R$ 上连续，且 $g(x)=f(x) \int_0^x f(t) d t$ 单调递减，证明: $f(x) \equiv 0$.