单选题 （共 40 题 ），每题只有一个选项正确
设对任意的 $x$, 总有 $\varphi(x) \leq f(x) \leq g(x)$, 且 $\lim _{x \rightarrow \infty}|g(x)-\varphi(x)|=0$ 则 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$
$\text{A.}$ 存在且等于零
$\text{B.}$ 存在但不等于零
$\text{C.}$ 一定不存在
$\text{D.}$ 不一定存在
$f(x)$ 在 $x_0$ 点可导, 则 $f(x)$ 在 $x_0$ 点
$\text{A.}$ 可能连续
$\text{B.}$ 不连续
$\text{C.}$ 连续
$\text{D.}$ 以上都不对
若 $f(x)=\frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{e^{\frac{1}{x}}+1}$, 则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的
$\text{A.}$ 可去间断点
$\text{B.}$ 连续点
$\text{C.}$ 第二类间断点
$\text{D.}$ 跳跃间断点
$f(x)$ 当 $x \rightarrow x_0$ 时的右极限 $f\left(x_0^{+}\right)$和左极限 $f\left(x_0^{-}\right)$存在且相等是 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 存在的 $\qquad$条件
$\text{A.}$ 必要
$\text{B.}$ 充分
$\text{C.}$ 充要
$\text{D.}$ 充分不必要
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}
1,|y| < x, 0 < x < 1, \\
0, \quad \text { 其他. }
\end{array}\right.
$$
则 $P\left\{Y>0 \left\lvert\, X=\frac{1}{2}\right.\right\}=1$,
$\text{A.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
设随机变量 $X_n(n \geq 1)$ 相互独立,且都在 $(-1,1)$ 上服从均匀分布， $\Phi(x)$ 为标准正态分布函数，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\sqrt{n}} \leqslant 1\right\}=(\quad$,
$\text{A.}$ $\Phi\left(\frac{1}{2}\right)$
$\text{B.}$ $\Phi(\sqrt{2})$
$\text{C.}$ $\Phi(\sqrt{3})$
$\text{D.}$ $\Phi(0)$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X \sim N\left(0, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, 样本均值与样本方差分别为 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$, 则 $D\left(\sqrt{n} \bar{X}^2-S^2\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ $2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1}\right) \sigma^4$
$\text{B.}$ $(n-1) \sigma^2$
$\text{C.}$ $\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}\right) \sigma^2$
$\text{D.}$ $2\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}\right) \sigma^4$
设 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处可导,则 $f(|x|)$ 在点 $x=0$ 处可导的充分必要条件是（ ）.
$\text{A.}$ $f(0)=0$
$\text{B.}$ $f^{\prime}(0)=0$
$\text{C.}$ $f(0)=0$ 且 $f^{\prime}(0)=0$
$\text{D.}$ $f(0)=0$ 或 $f^{\prime}(0)=0$
设有积分 $I_1=\int_0^1 \frac{x}{\ln (1+x)} d x, I_2=\int_0^1 \frac{x^2}{\ln ^2(1+x)} d x, I_3=\int_0^1 \frac{x^2}{\ln \left(1+x^2\right)} d x$, 则 $I_1, I_2, I_3$按大小不同排列的顺序是
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_1 < I_3 < I_2$
$\text{C.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
$\text{D.}$ $I_3 < I_1 < I_2$
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足条件 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n+1}-x_n\right)=0$, 则这个数列收敛的充分必要条件是 ( ).
$\text{A.}$ 数列 $\left\{x_n\right\}$ 有界
$\text{B.}$ 数列 $\left\{x_n\right\}$ 单调
$\text{C.}$ 数列 $\left\{x_n\right\}$ 单调有界
$\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{3 n}=a$
若 $f\left(x, x^2\right)=x^2 e ^{-x},\left.f_x^{\prime}(x, y)\right|_{y=x^2}=-x^2 e ^{-x}$, 则当 $x \neq 0$ 时, $\left.f_y^{\prime}(x, y)\right|_{y=x^2}=$ ( ).
$\text{A.}$ $2 x e ^{-x}$
$\text{B.}$ $\left(-x^2+2 x\right) e ^{-x}$
$\text{C.}$ $e^{-x}$
$\text{D.}$ $(2 x-1) e ^{-x}$
已知 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=a, f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=b$, 则 ( ).
$\text{A.}$ $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处连续
$\text{B.}$ $\left. d f(x, y)\right|_{\left(x_0, y_0\right)}=a d x+b d y$
$\text{C.}$ $\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_0, y_0\right)}=a \cos \alpha+b \cos \beta$, 其中 $\cos \alpha, \cos \beta$ 是向量 $l$ 的方向余弦
$\text{D.}$ $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处沿 $x$ 轴负方向的方向导数为 $-a$
设函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内连续, 且 $f(0,0) \neq 0$, 则极限 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\iint_{|x|+|y| \leq \sqrt{t}} f(x, y) d \sigma}{\int_0^t f(x, x) d x}=$ ).
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ $f(0,0)$
$\text{D.}$ $\pi$
设 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4$ 都是 $n$ 维向量，则（ ）不正确。
$\text{A.}$ 若 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性无关, $\alpha _4$ 不能用 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性表示, 则 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4$ 线性无关
$\text{B.}$ 若 $\alpha _1, \alpha _2$ 线性无关, $\alpha _3, \alpha _4$ 都不能用 $\alpha _1, \alpha _2$ 线性表示, 则 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4$ 线性无关
$\text{C.}$ 若存在 $n$ 阶矩阵 $A$, 使得 $A \alpha _1, A \alpha _2, A \alpha _3, A \alpha _4$ 线性无关, 则 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4$ 线性无关
$\text{D.}$ 若 $\alpha _1= A \beta _1, \alpha _2= A \beta _2, \alpha _3= A \beta _3, \alpha _4= A \beta _4$, 其中 $n$ 阶矩阵 $A$ 可逆, 已知 $\beta _1, \beta _2, \beta _3, \beta _4$ 线性无关 则 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4$ 线性无关
设 $A , B$ 为 $n$ 阶方阵, 若方程组 $A x = 0$ 的解都是 $B x = 0$ 的解, 则下列方程组中有 ( $\quad$ ) 个与 $A x =0$ 同解.
(1) $( A + B ) x = 0$
(2) $A B x = 0$
(3) $B A x=0$
(4) $\binom{ A - B }{ A + B } x = 0$
(5) $\binom{ A }{ B } x= 0$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
连续做某项试验, 每次试验只有成功和失败两种结果, 已知当第 $k$ 次成功时, 第 $k+1$ 次成功的概率为 $\frac{1}{2}$; 当第 $k$ 次失败时, 第 $k+1$ 次成功的概率为 $\frac{3}{4}$. 如果第一次试验成功和失败的概率均为 $\frac{1}{2}$, 设第 $n$ 次试验成功的概率为 $P_n$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} P_n=(\quad)$.
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{5}{8}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{5}$
袋中有 5 只球，其中 3 只新的， 2 只旧的，每次取一只，无放回取三次，则第一次和第三次均取到新球的概率为
$\text{A.}$ $3 / 5$
$\text{B.}$ $1 / 10$
$\text{C.}$ $1 / 5$
$\text{D.}$ $3 / 10$
设事件 $A, B$ 相互独立, 且 $P(A)=1 / 3, P(B)=1 / 5$, 则 $P(A \mid B)=$ 。
$\text{A.}$ $3 / 5$
$\text{B.}$ $2 / 15$
$\text{C.}$ 1/15
$\text{D.}$ $1 / 3$
设 $X \sim N(-1,2)$, 则 $X$ 的密度函数为
$\text{A.}$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{\frac{-(x-1)^2}{4}}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2 \sqrt{\pi}} e^{\frac{-(x+1)^2}{2}}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2 \sqrt{2 \pi}} e^{\frac{-(x-1)^2}{8}}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2 \sqrt{\pi}} e^{\frac{-(x+1)^2}{4}}$
设某地每年遭受严重自然灾害的次数为随机变量 $X$, 已知该地上半年已经遭受了一次严重自然灾害，那么该地全年遭受严重自然灾害超过 2 次的概率是
$\text{A.}$ $P(X \geq 2)$
$\text{B.}$ $P(X>2 \mid X \geq 1)$
$\text{C.}$ $P(X \geq 2 \mid X>1)$
$\text{D.}$ $1-P(X \leq 2 \mid X=1)$
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 均服从正态分布, $X \sim N\left(\mu, 4^2\right), Y \sim N\left(\mu, 5^2\right)$, 而 $p_1=P(X \leq \mu-4)$, $p_2=P(Y \geq \mu+5)$, 则
$\text{A.}$ $p_1=p_2$
$\text{B.}$ $p_1 < p_2$
$\text{C.}$ $p_1>p_2$
$\text{D.}$ 当 $\mu=0$, 才有 $p_1=p_2$
设 $(X, Y) \sim N(0,1,1,1,0.5), U=X+Y, V=X-Y$, 若已知 $(U, V)$ 是二维正态分布, 则下面错误的是
$\text{A.}$ $X$ 与 $Y$ 相关
$\text{B.}$ $U$ 与 $V$ 不相关
$\text{C.}$ $U$ 与 $V$ 不独立
$\text{D.}$ $V$ 与 $X$ 线性相关
设 $X_1, X_2, X_3$ 为总体 $X$ 一个样本, 则总体均值的 4 个无偏差估计: $\hat{\mu}=X_1, \hat{\mu}_2=\left(X_1+X_2\right) / 2$, $\hat{\mu}_3=\left(X_1+X_2+X_3\right) / 3, \hat{\mu}_4=0.7 X_2+0.3 X_3$ 中最有效的估计是
$\text{A.}$ $\hat{\mu}_1$
$\text{B.}$ $\hat{\mu}_2$
$\text{C.}$ $\hat{\mu}_3$
$\text{D.}$ $\hat{\mu}_4$
从总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 中取样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n>1)$, 均值为 $\bar{X}$, 下面错误的是
$\text{A.}$ $\frac{n \bar{X}-n \mu}{\sigma \sqrt{n}} \sim N(0,1)$
$\text{B.}$ $\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$
$\text{C.}$ $\frac{X_n-\mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$
$\text{D.}$ $\frac{X_1-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$
设 $X_1, \cdots, X_n(n>1)$ 为总体 $X \sim N(0,1)$ 的样本, $\bar{X}$ 为样本均值, 则错误的是
$\text{A.}$ $\bar{X} \sim N\left(0, \frac{1}{n}\right)$
$\text{B.}$ $\frac{\bar{X}}{\sqrt{n}} \sim N(0,1)$
$\text{C.}$ $\sum_{l=1}^n X_I^2 \sim \chi^2(n)$
$\text{D.}$ $\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)^2 \sim \chi^2(1)$
设 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则在开区间 $(a, b)$ 内 $f(x)$ 必有 $(\quad)$
$\text{A.}$ 导函数
$\text{B.}$ 原函数
$\text{C.}$ 最大值或最小值
$\text{D.}$ 极值
下列说法不正确的是（）。
$\text{A.}$ 一切初等函数在其定义区间上都存在有原函数
$\text{B.}$ 不连续的函数也可能存在有原函数
$\text{C.}$ 连续的奇函数的原函数都是偶函数
$\text{D.}$ 连续的偶函数的原函数都是奇函数
以下结论正确的是 ( )
$\text{A.}$ $d \left[\int f(x) d x\right]=f(x)$
$\text{B.}$ $\left[\int f(x) d x\right]^{\prime}=\int f^{\prime}(x) d x$
$\text{C.}$ $\int f^{\prime}(x) d x=f(x)$
$\text{D.}$ $d \left[\int f(x) d x\right]=f(x) d x$
若 $f(x)$ 的导函数为 $\sin x$ ，则 $f(x)$ 的一个原函数为 $( I$ 。
$\text{A.}$ $1+\sin x$
$\text{B.}$ $1-\sin x$
$\text{C.}$ $1+\cos x$
$\text{D.}$ $1-\cos x$
若 $\int f(x) d x=F(x)+C$ ，则 $\int f(a x+b) d x=(\quad)$.
$\text{A.}$ $a F(a x+b)+C$
$\text{B.}$ $\frac{F(a x+b)}{a}+C$
$\text{C.}$ $\frac{F(x)}{a}+C$
$\text{D.}$ $a F ( x )+C$
函数 $f(x)=\frac{x(x+1) e^{\frac{1}{x}}}{\ln x^2}$ 的无穷间断点个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $\sin x^n\left(\sqrt{1+x^2}-1\right)+1$ 是 $f(x)$ 的一个原函数, $g(x)=k \int_0^x\left( e ^{t^2}-1\right) d t$, 若 $x \rightarrow 0$ 时 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是等价无穷小, 则
$\text{A.}$ $k=6, n=2$
$\text{B.}$ $k=4, n=2$
$\text{C.}$ $k=6, n=3$
$\text{D.}$ $k=4, n=3$
设 $y=y(x)$ 是方程 $x^2 y^2+y=1(y>0)$ 所确定的函数, 则 (. .).
$\text{A.}$ $y(x)$ 有极小值，但无极大值
$\text{B.}$ $y(x)$ 有极大值，但无极小值
$\text{C.}$ $y(x)$ 既有极大值, 又有极小值
$\text{D.}$ $y(x)$ 无极值
设 $f(x)=\int_0^x\left( e ^{\cos t} \cos t-k\right) d t$, 若积分 $\int_a^{a+2 \pi} f(x) d x$ 的值与 $a$ 无关, 则 $k=(\quad)$.
$\text{A.}$ $\int_0^{2 \pi} e ^{\cos x} \cos x d x$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} e ^{\cos x} \cos x d x$
$\text{C.}$ $\int_0^\pi e^{\cos x} \cos x d x$
$\text{D.}$ 0
若 $x \rightarrow 0$ 时 $\frac{\cos x+\ln (1+x)}{1+x}=1+a x+b x^2+o\left(x^2\right)$, 则 ( ).
$\text{A.}$ $a=0, b=-1$
$\text{B.}$ $a=-1, b=0$
$\text{C.}$ $a=1, b=-1$
$\text{D.}$ $a=-1, b=1$
设 $f$ 为二元可微函数, $z=y f\left(\frac{y}{x}, x y\right)$, 则 $\frac{x}{y} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=(\quad)$.
$\text{A.}$ $f+2 \frac{x}{y} \cdot f_1^{\prime}$
$\text{B.}$ $f-2 \frac{x}{y} \cdot f_1^{\prime}$
$\text{C.}$ $f+2 x y f_2^{\prime}$
$\text{D.}$ $f-2 x y f_2^{\prime}$
微分方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y= e ^{-x}(\cos x+1)$ 的特解形式为 ( ).
$\text{A.}$ $e ^{-x}(a \cos x+b \sin x+c)$
$\text{B.}$ $x e ^{-x}(a \cos x+b \sin x+c)$
$\text{C.}$ $e ^{-x}(a x \cos x+b x \sin x+c)$
$\text{D.}$ $e ^{-x}(a \cos x+b \sin x+c x)$
设 $4 \times 5$ 阶矩阵 $A =\left(\begin{array}{c} \alpha _1^{ T } \\ \alpha _2^{ T } \\ \alpha _3^{ T } \\ \alpha _4^{ T }\end{array}\right)$, 且 $\eta _1=(1,1,-2,1)^{ T }, \quad \eta _2=(0,1,0,1)^{ T }$是齐次线性方程组 $A ^{ T } x =0$ 的基础解系，现有 4 个命题
(1) $\alpha _1, \alpha _3$ 线性无关;
(2) $\alpha_1$ 可由 $\alpha_2, \alpha_3$ 线性表出;
(3)向量组 $\alpha _3, \alpha _4$ 为向量组 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4$ 的一个极大无关组;
(4) 向量组 $\alpha_1, \alpha_1+\alpha_2, \alpha_3+2 \alpha_4$ 秩为 3 。
以上命题中正确的是 ( ).
$\text{A.}$ . (1)(3)
$\text{B.}$ (2)(4)
$\text{C.}$ (2)(3)
$\text{D.}$ (1)(4)
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵; 将 $A$ 的第 3 行的 2 倍加到第 1 行, 然后再将第 1 列的 - 2 倍加到第 3列，得到矩阵为 $B$ ，则 $A$ 和 $B$
$\text{A.}$ 完全相同
$\text{B.}$ 相似又等价，
$\text{C.}$ 合同但不相似
$\text{D.}$ 等价但不一定相似
已知 3 阶矩阵 $A$ 与 3 维列向量 $\alpha$, 若向量组 $\alpha , A , A ^2 \alpha$ 线性无关, 且 $A^3 \alpha=3 A \alpha-2 A^2 \alpha$, 则秩 $r (A)= $ 。
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3