单选题 （共 15 题 ），每题只有一个选项正确
设 $a$ 为正实数, 令 $I_a=\int_{\frac{1}{a}}^a \frac{\ln x}{1+x^2} d x$, 则
$\text{A.}$ $I_a=0$.
$\text{B.}$ $I_a=1$.
$\text{C.}$ $I_a=-1$.
$\text{D.}$ $I_a=2$.
$\text{E.}$ $I_a$ 的值与 $a$ 有关.
求函数 $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}} d x$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{8}$.
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}$.
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{2}$.
$\text{D.}$ $\pi$.
$\text{E.}$ $2 \pi$.
已知曲线 L 的参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos ^3 t, \\ y=2 \sin ^3 t\end{array}\left(0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}\right)\right.$, 则 L 的长度为
$\text{A.}$ 2 .
$\text{B.}$ 3.
$\text{C.}$ 5.
$\text{D.}$ 6 .
$\text{E.}$ 9
设可微函数 $z=z(x, y)$ 由 $\sin \left(x+y^2\right)+\left(1+x^2+y\right) e^z=1$ 确定,则 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(0,0)}$ 与 $\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(0,0)}$ 的值依次为
$\text{A.}$ 1, 1.
$\text{B.}$ $1,-1$.
$\text{C.}$ $-1,1$.
$\text{D.}$ $-1,-1$.
$\text{E.}$ 0,0
已知函数 $f(x, y)=\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2-x y}$, 则 $x \frac{\partial f(x, y)}{\partial x}+y \frac{\partial f(x, y)}{\partial y}=$
$\text{A.}$ 0.
$\text{B.}$ 1 .
$\text{C.}$ 2.
$\text{D.}$ 3 .
$\text{E.}$ 4
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=2$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x}{f(3 x)}=(\quad) 。$
$\text{A.}$ $3 / 2$
$\text{B.}$ $2 / 3$
$\text{C.}$ $1 / 3$
$\text{D.}$ $4 / 3$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+\sin \frac{\pi}{2} x, & x \leqslant 1, \\ 2-\sqrt{x-1}, & x>1 .\end{array}\right.$ 对 $f(x)$ 给出两个命题: (1) 点 $x=1$ 是 $f(x)$ 的一个极值点；(2) 点 $(1,2)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的一个拐点. 则
$\text{A.}$ (1) 和 (2) 都正确.
$\text{B.}$ (1) 正确, 但 (2) 不正确.
$\text{C.}$ (1) 不正确, 但 (2) 正确.
$\text{D.}$ (1) 和 (2) 都不正确.
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,2]$ 上二阶可导, 且 $f^{\prime \prime}(x)>0$, 又 $f(0)=2 f(1)=f(2)=2$, 则
$\text{A.}$ $1 < \int_0^2 f(x) d x < 2$.
$\text{B.}$ $\frac{3}{2} < \int_0^2 f(x) d x < \frac{5}{2}$.
$\text{C.}$ $2 < \int_0^2 f(x) d x < 3$.
$\text{D.}$ $3 < \int_0^2 f(x) d x < 4$.
设 $f\left(x y, \frac{x}{y}\right)=(x+y)^2$, 则 $f(x, y)= $.
$\text{A.}$ $x^2\left(y+\frac{1}{y}\right)^2 ;$
$\text{B.}$ $\frac{x}{y}(1+y)^2$;
$\text{C.}$ $y^2\left(x+\frac{1}{x}\right)^2$;
$\text{D.}$ $\frac{y}{x}(1+y)^2$.
$\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}\left(x^2+y^2\right)^{x^2 y^2}=(\quad)$.
$\text{A.}$ 0 ;
$\text{B.}$ 1 ;
$\text{C.}$ 2 ;
$\text{D.}$ $e$
设 $f(x)=\frac{\left|x^3+x^2-2 x\right| \cdot|\ln | x| |}{x^2-1} e ^{\frac{1}{x-2}}$ ，则（ ）。
$\text{A.}$ $f(x)$ 有 1 个可去间断点， 2 个跳跃间断点， 1 个第二类间断点
$\text{B.}$ $f(x)$ 有 2 个可去间断点， 1 个跳跃间断点， 1 个第二类间断点
$\text{C.}$ $f(x)$ 有 2 个可去间断点， 2 个跳跃间断点，没有第二类间断点
$\text{D.}$ $f(x)$ 有 3 个可去间断点， 1 个第二类间断点
设 $f(x)=2^x+3^x-2$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时，有（）
$\text{A.}$ $f(x)$ 与 $x$ 是等价无穷小．
$\text{B.}$ $f(x)$ 与 $x$ 同阶但非等价无穷小．
$\text{C.}$ $f(x)$ 是比 $x$ 高阶的无穷小．
$\text{D.}$ $f(x)$ 是比 $x$ 低阶的无穷小．
设
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
\frac{2}{3} x^3, x \leq 1 \\
x^2, x>1
\end{array}\right.
$$
则 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的
$\text{A.}$ 左，右导数都存在．
$\text{B.}$ 左导数存在，右导数不存在．
$\text{C.}$ 左导数不存在，右导数存在．
$\text{D.}$ 左，右导数都不存在．
设 $f(x, y)=e^{\sqrt{x^2+y^4}}$ ，则函数在原点偏导数存在的情况是（ ）
$\text{A.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 存在，$f_y^{\prime}(0,0)$ 存在．
$\text{B.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 不存在，$f_y^{\prime}(0,0)$ 存在．
$\text{C.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 存在，$f_y^{\prime}(0,0)$ 不存在．
$\text{D.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 不存在，$f_y^{\prime}(0,0)$ 不存在．
曲线 $y=\arcsin 2 \sqrt{x-x^2}$ 与 $x$ 轴所围图形绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积为（ ）．
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{B.}$ $\pi$
$\text{C.}$ $\frac{3}{2} \pi$
$\text{D.}$ $2 \pi$