单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $u=u(x, y), v=v(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 的某邻域内可微分, 则 在点 $(x, y)$ 处有
$\operatorname{grad}(u v)=$
$\text{A.}$ $gradu-gradv;$
$\text{B.}$ $u \cdot gradv + v cdot gradu;$
$\text{C.}$ $u \cdot gradv;$
$\text{D.}$ $v \cdot gradu$
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
计算 $\oint_L x d s$. 其中 $L: y=x, y=x^2$ 围成区域的整个边界.
求三重积分 $\iiint_V x y z d x d y d z$, 其中 $V$ 是由曲面 $x^2+y^2+z^2=$ 1 及 $x=0, y=0, z=0$ 所界区域。
计算二重积分 $\iint_{\Omega} \frac{(1+x+y)^2}{1+x^2+y^2} d x d y$, 其中区域 $\Omega=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1\right\}$.
求和 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n)!}$.
设 $u=x^y y^z z^x$ ，求 $d u$ ．
设 $L$ 为连接点 $(1,1)$ 和点 $(4,5)$ 的直线段，则 $\int_L d s=$
函数 $f(x)=e^{2 x}$ 在点 $x=0$ 的幕级数展开式为
解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $z=\ln \left(x y+\frac{x}{y}\right)$, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
计算二重积分 $\iint_D e^{x^2+y^2} d \sigma$, 其中 $D$ 是由圆周 $x^2+y^2=4$ 所围成的闭区域.
计算曲面积分 $\iint_{\Sigma} \frac{1}{z} d S$, 其中 $\Sigma$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 被平面 $z=h(0 < h < a)$ 截出的顶部.
$\sum$ 是平面 $x+y+z=1, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0$ 上侧, 求 $\iint_{\Sigma} z d x d y$
求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(n+3) x^n$ 的收敛域及和函数。
求函数 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n 2^n} x^n$ 在 $x=1$ 处的 Taylor 展开式及所求展开式的收敛域。
设 $z=f(x+y, x y)$, 其中 $f$ 具有一阶连续偏导数, 求 $d z$
判断$ \sum_{n=2}^{\infty}\left(1-\frac{2 \ln n}{n^2}\right)^{n^2}$ 敛散性
判断敛散性 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos \frac{\pi}{n}\right)$ ；
判断敛散性 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^n}{1+a^{2 n}}(a>0)$ ；
判断敛散性 $\sum_{n=1}^{\infty} \int_0^{\frac{1}{n}} \frac{\sqrt{x}}{1+x^2} d x$ ；
求幂级数的和函数 $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{n+1}{(2 n+1)!} x^{2 n+1} ;$
利用格林公式计算 $\oint_L(2 x-1) y d x+\left(x^2+y \ln \left(1+y^2\right)\right) d y$ ，其中$L$ ：按 $(x+4)^2+(y-2)^2=4$ 逆时针方向绕行．
对坐标的曲线积分 $I=\int_L\left(x+y^2\right) d x+\left(2 x y+y^2\right) d y$ ，其中 $L$ 是从原点沿上半圆周 $y=\sqrt{2 x-x^2}$ 到 $(1,1)$ 的有向曲线，验证该曲线积分与路径无关，并计算