一、单选题 （共 7 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6 x+x f(x)}{x^3}=0$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{6+f(x)}{x^2}$ 为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 36
$\text{D.}$ $\infty$
当 $x \rightarrow 1$ 时, 函数 $\frac{x^2-1}{x-1} e ^{\frac{1}{x-1}}$ 的极限
$\text{A.}$ 等于 2 .
$\text{B.}$ 等于 0 。
$\text{C.}$ 为 $\infty$ 。
$\text{D.}$ 不存在但不为 $\infty$
已知极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\arctan x}{x^k}=c$, 其中 $k, c$ 为常数, 且 $c \neq 0$, 则
$\text{A.}$ $k=2, c=-\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $k=2, c=\frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ $k=3, c=-\frac{1}{3}$.
$\text{D.}$ $k=3, c=\frac{1}{3}$.
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-\left(a x+b x^2\right)}{x^2}=2$, 则
$\text{A.}$ $a=1, b=-\frac{5}{2}$.
$\text{B.}$ $a=0, b=-2$.
$\text{C.}$ $a=0, b=-\frac{5}{2}$.
$\text{D.}$ $a=1, b=-2$.
. 当 $x \rightarrow 0$ 时, 若 $x-\tan x$ 与 $x^k$ 是同阶无穷小, 则 $k=$
$\text{A.}$ 1 .
$\text{B.}$ 2 .
$\text{C.}$ 3 .
$\text{D.}$ 4 .
当 $x \rightarrow 0^{+}$时, 与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是
$\text{A.}$ $1- e ^{\sqrt{x}}$.
$\text{B.}$ $\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$.
$\text{C.}$ $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$.
$\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{x}$.
设 $x \rightarrow 0$ 时, $e ^{\tan x}- e ^x$ 与 $x^n$ 是同阶无穷小, 则 $n$ 为
$\text{A.}$ 1 .
$\text{B.}$ 2 .
$\text{C.}$ 3 .
$\text{D.}$ 4.
二、填空题 （共 4 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
若方程组 $\left\{\begin{array}{l}x=t e^{-t} \\ \int_1^{y-x} \sin ^2\left(\frac{\pi}{4} u\right) d u=t\end{array}\right.$ 可确定 $y$ 是 $x$ 的函数 $y=y(x)$, 则 $\left.\frac{d y}{d x}\right|_{t=0}=$ ?
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\arcsin x)-x}{x^3}=$
已知 $x=0$ 是 $f(x)=\frac{x+b \ln (1+x)}{a x-\sin x}$ 的可去间断点，求 $a, b$ 的取值范围
$f(x)=e^{x^{2022}} \sin x$, 求 $f^{(2022)}(0)$
三、解答题 （ 共 17 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+\frac{1}{2} x^2-\sqrt{1+x^2}\right) \cos x^2}{\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}}$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^a \ln ^b x$, 其中 $a>0, b>0$
求极限: $\lim _{n \rightarrow \infty} \cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2^2} \cdots \cos \frac{x}{2^n}$
计算极限: $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{1}{n^2}+\sin \frac{3}{n^2}+\cdots+\sin \frac{2 n-1}{n^2}\right)$.
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{1}{x}+\cos \frac{1}{x}\right)^x$解
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\sqrt{4 x^2+x} \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)-2 x \ln 2\right]$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-(1+2 x)^{\frac{1}{2 x}}}{x}$
计算 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \sin 3 x}{\ln \sin 2 x}$
求极限: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(x^2 \sin \frac{1}{x}\right)}{x}$
求 $y=x^2 \sin 2 x$, 求 $y^{(50)}$.
求隐函数导数 $x y=\mathrm{e}^{x+y}$;
已知 $\left\{\begin{array}{l}x=\mathrm{e}^t \sin t, \\ y=\mathrm{e}^t \cos t,\end{array}\right.$ 求当 $t=\frac{\pi}{3}$ 时 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 的值.
求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \mathrm{e}^t \\ y=\mathrm{e}^{-t}\end{array}\right.$ 在 $t=0$ 相应的点处的切线方程及法线方程.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \sin \cos x-\sin \sin 1}{\cos \cos \cos x-\cos \cos 1}$
$p^2>4 q, q \neq 0, y=\frac{1}{x^2+p x+q}$ ，求 $y^{(n)}$
设 $f(x)=\left(x^2-3 x+2\right)^n \cos \frac{\pi x^2}{16}$, 求 $f^{(n)}(2)$.