一、单选题 （共 29 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
$f(x)=\frac{x \ln |x|}{|x-1|} \mathrm{e}^{\frac{1}{(x-1)(x-2)}}$ 的无穷间断点的个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{1-\mathrm{e}^{\frac{3}{x}}}+\frac{\ln (1-a x)}{|x|}, & x \neq 0 \\ b, & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 则
$\text{A.}$ $a=1, b=-1$.
$\text{B.}$ $a=-1, b=1$.
$\text{C.}$ $a=1, b=1$.
$\text{D.}$ $a=-1, b=-1$.
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x^2}-1}{\cos x-1}=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $\infty$
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ $-2$
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+|x|^{3 n}}$, 则 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内
$\text{A.}$ 处处可导.
$\text{B.}$ 恰有一个不可导点.
$\text{C.}$ 恰有两个不可导点.
$\text{D.}$ 至少有三个不可导点.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a \tan x+b(1-\cos x)}{c \ln (1-2 x)+d\left(1-\mathrm{e}^{-x^2}\right)}=2$, 其中 $a^2+c^2 \neq 0$, 则必有
$\text{A.}$ $b=4 d$.
$\text{B.}$ $b=-4 d$.
$\text{C.}$ $a=4 c$.
$\text{D.}$ $a=-4 c$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{\cos \left(x e^x\right)-\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2} e^{2 x}}}{x^4}=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $-\frac{1}{6}$.
$\text{C.}$ $-\frac{1}{8}$.
$\text{D.}$ $-\frac{1}{12}$.
设 $f(x)=\frac{\left|x^2-1\right|}{x^2-x-2} \arctan \frac{1}{x}$, 则
$\text{A.}$ $f(x)$ 有一个可去间断点, 一个跳跃间断点, 一个第二类间断点
$\text{B.}$ $f(x)$ 有两个可去间断点,一个第二类间断点
$\text{C.}$ $f(x)$ 有两个跳跃间断点, 一个第二类间断点
$\text{D.}$ $f(x)$ 有一个跳跃间断点, 两个第二类间断点
若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left(x e^x\right)-e^{-\frac{x^2}{2} e^{2 x}}}{x^\alpha}=\beta \neq 0$ 则
$\text{A.}$ $\alpha=2, \beta=-1$.
$\text{B.}$ $\alpha=3, \beta=-\frac{1}{6}$.
$\text{C.}$ $\alpha=4, \beta=-\frac{1}{12}$.
$\text{D.}$ $\alpha=5, \beta=-\frac{1}{8}$.
若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x^2+b x+1-e^{x^2-2 x}}{x^2} =2$, 则
$\text{A.}$ $a={5}, b=-2$.
$\text{B.}$ $a=-2, b=5 $
$\text{C.}$ $a={2}, b=0$.
$\text{D.}$ $a={4}, b=-4$.
函数 $f(x)=\frac{(x+1)|x-1|}{e^{\frac{1}{x-2}} \ln |x|}$ 的可去间断点的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty}(x-1) \arctan |x|^n$, 则
$\text{A.}$ $x=-1$ 为 $f(x)$ 的第一类间断点.
$\text{B.}$ $x=1$ 为 $f(x)$ 的第一类间断点.
$\text{C.}$ $x=-1$ 为 $f(x)$ 的第二类间断点.
$\text{D.}$ $x=1$ 为 $f(x)$ 的第二类间断点.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\cos x-\sqrt{\cos x}) \sin (\sin x)}{[x-\ln (1+\tan x)]\left(e^x-1\right)}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{3}$
函数 $f(x)=\left(x^2-4 x\right)\left|x 2^{|x|}-x^3\right|$ 的不可导点的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设$f(x)=\dfrac{e^{\frac{1}{x}}-1}{\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}+1}$则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的
$\text{A.}$ 可去间断点
$\text{B.}$ 跳跃间断点
$\text{C.}$ 第二类间断点
$\text{D.}$ 连续点
当 $x \rightarrow 1$ 时, 函数 $\frac{x^2-1}{x-1} e ^{\frac{1}{x-1}}$ 的极限
$\text{A.}$ 等于 2 .
$\text{B.}$ 等于 0 。
$\text{C.}$ 为 $\infty$ 。
$\text{D.}$ 不存在但不为 $\infty$
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-\left(a x+b x^2\right)}{x^2}=2$, 则
$\text{A.}$ $a=1, b=-\frac{5}{2}$.
$\text{B.}$ $a=0, b=-2$.
$\text{C.}$ $a=0, b=-\frac{5}{2}$.
$\text{D.}$ $a=1, b=-2$.
设数列通项
$$x_n=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{n^2+\sqrt{n}}{n}, & n \text { 为奇数, } \\
\frac{1}{n}, & n \text { 为偶数. }
\end{array}\right.
$$
则当 $n \rightarrow \infty$ 时, $ x_n$ 是
$\text{A.}$ 无穷大量.
$\text{B.}$ 无穷小量.
$\text{C.}$ 有界变量.
$\text{D.}$ 无界变量.
函数 $f(x)=\dfrac{ e ^{\frac{1}{x-1}} \ln |1+x|}{\left( e ^x-1\right)(x-2)}$ 的第二类间断点的个数为
$\text{A.}$ 1.
$\text{B.}$ 2 .
$\text{C.}$ 3 .
$\text{D.}$ 4 .
设函数 $f(x)=\frac{\ln |x|}{|x-1|} \sin x$, 则 $f(x)$ 有
$\text{A.}$ 有 1 个可去间断点, 1 个跳跃间断点.
$\text{B.}$ 有 1 个可去间断点, 1 个无穷间断点.
$\text{C.}$ 有两个无穷间断点.
$\text{D.}$ 有两个跳跃间断点.
二、填空题 （共 14 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
$\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{\ln (1+x)}\right]=$
设 $\left\{\begin{array}{c}x=\sqrt{t^2+1} \\ y=\ln \left(t+\sqrt{t^2+1}\right)\end{array}\right.$, 则 $\left.\frac{d^2 y}{d x^2}\right|_{t=1}=$
已知 $f^{\prime}(1)=8$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(1-x^2\right)-f(1)}{1-\cos x}=$
$y=\left(x^2-5 x+6\right)\left|x^3-3 x^2+2 x\right|$ 的不可导点的个数为 ________ 个
若 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $\cos x-\frac{c+9 x^2}{c+4 x^2}$ 是 $x^2$ 的高阶无穷小，则 $c=$
函数 $f(x)=\frac{x^2-x}{x^2-1} \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$ 的无穷间断点的个数为
已知极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[a x \ln \left(1+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\right)-\operatorname{arccot} \frac{1}{x}\right]$ 存在, 则 $a=$
已知 $x=0$ 是 $f(x)=\frac{x+b \ln (1+x)}{a x-\sin x}$ 的可去间断点，求 $a, b$ 的取值范围
写出 $f(x)=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1+x}{1+x^{2 n}}$ 的所有间断点及其所属类型
写出 $f(x)=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1+x}{1+x^{2 n}}$ 的所有间断点及其所属类型
若函数 $y=\left\{\begin{array}{ll}(x+a)^2+b, & x < 0 \\ e^x, & x \geqslant 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 可导, 则 $a=$ $\qquad$ , $b=$
若函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin 2 x+e^{2 a x}-1}{x}, & x \neq 0 \\ a, & x=0\end{array}\right.$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续, 则 $a=$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\cos \frac{1}{n}\right)^{n^2}=$
三、解答题 （ 共 14 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(2+3 \sin x)^x-2^x}{\tan ^2 x-4 x^3}$.
求极限: $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^x-(\sin x)^x}{x^3}$
求极限: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+\frac{1}{2} x^2-\sqrt{1+x^2}\right) \cos x^2}{\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}}$
求极限: $ \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\sin (\sin x)}{\sin (\arctan x)}\right]^{\frac{1}{1-\cos x}}$
求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}{x}\right)^{\frac{1}{\ln ^2(1+x)}}$.
求函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2+2 x}{\left(e^x-1\right)(x+2)}, & x < 0 \\ \frac{x}{x-1}, & x \geq 0\end{array}\right.$ 的间断点, 并判断类型。
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+\tan x)^{\frac{1}{4}}+(1-\sin x)^{\frac{1}{4}}-2}{x^2}$.
设 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上有定义, 且 $e^{x f(x)}$ 和 $e^{-f(x)}$ 都在 $(0,1)$ 内单调不减, 求证: $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内连续.