解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $u=y f\left(\frac{x}{y}\right)+x g\left(\frac{y}{x}\right)$, 其中函数 $f, g$ 具有二阶连续导数, 求 $x \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+y \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$.
求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\left(n^{2}-n+1\right)}{2^{n}}$ 的和.
求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}$ 的和函数 $s(x)$ 与收敛半径, 并利用 $s(x)$ 计算 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1) \cdot 2^{n+1}}$ 的和.
计算曲线积分 $\prod_L\left(x^2+y^2+z^2\right) \mathrm{d} s$, 其中
$$
L:\left\{\begin{array}{c}
x^2+y^2+z^2=\frac{9}{2}, \\
x+z=1 .
\end{array}\right.
$$
求曲线积分: $\int_L\left[\left(x^2+y^2\right)^2+y^2\right] \mathrm{d} s$ ，其中
$$
L: x^2+y^2=x
$$
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(n+\frac{1}{n}\right) x^n$ 的和函数, 并求数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2+1}{n}\left(\frac{1}{2}\right)^n$ 的和