一、解答题 （ 共 10 题，满分 100 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
已知男人中有 $5.4 \%$ 是色盲患者, 女人中有 $0.27 \%$ 是色盲患者. 并且某学校学生中男、女生的比例为
$2: 1$, 现从这批学生中随机地选出一人, 发现此人是色盲患者, 试问此人是男生的概率为多少?
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, $X$ 的概率分布为 $P\{X=k\}=\frac{k}{3}(k=1,2), Y$ 的概率密度为 $f_Y(y)= \begin{cases}y, & 0 \leqslant y < 1, \\ 2-y, & 1 \leqslant y < 2, \text { 记 } Z=Y-X \text {. 求: } \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}$
(1) $P\{Z \leqslant 0 \mid X < 2\}, P\{Z \leqslant 0\}$;
(2) $Z$ 的概率密度.
设 $X$ 与 $Y$ 两个相互独立的随机变量, 其概率密度分别为
$$
f_X(x)=\left\{\begin{array}{rr}
1, & 0 \leq x \leq 1 ; \\
0, & \text { 其它. }
\end{array} \quad f_Y(y)= \begin{cases}e^{-y}, & y>0 ; \\
0, & y \leq 0 .\end{cases}\right.
$$
求: 随机变量 $Z=X+Y$ 的概率密度函数.
设随机变量 $X$ 服从参数 $\lambda=\mathbf{2}$ 的指数分布, 证明: $Y=\mathbf{1}-\boldsymbol{e}^{-\mathbf{2 X}}$ 服从 $\left.\mathbf{( 0 , 1}\right)$ 上的 均匀分布。
设 $(X, Y)$ 服从二维正态分布, $X \sim N(1,9), Y \sim N(0,16), \rho_{X Y}=-\frac{1}{2}$, 设 $Z=\frac{X}{3}+\frac{Y}{2}$, 求(1) $E Z, D Z \quad$ (2) $\rho_{X Z} \quad$ (3) $X$ 与 $Z$ 是否相关?
设连续型随机变量 $X$ 的分布函数为
$$
F(x)=A+B \arctan x \quad(-\infty < x < +\infty)
$$
试求: (1). 系数 $A$ 与 $B$; (2). 概率 $P\{-1 < X < 1\} ;$ (3). 随机变量 $X$ 的密度函数.
设随机变量 $X \sim N(0,1), Y=X^2+1$, 试求随机变量 $Y$ 的密度函数.