概率论与随机过程第一，二章测试-数学组卷-自助组卷

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概率论与随机过程第一，二章测试

数学

一、解答题（共 7 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 已知男人中有

5.4 %

是色盲患者, 女人中有

0.27 %

是色盲患者. 并且某学校学生中男、女生的比例为

2 : 1

, 现从这批学生中随机地选出一人, 发现此人是色盲患者, 试问此人是男生的概率为多少?

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2. 设随机变量

X

与

Y

相互独立,

X

的概率分布为

P {X = k} = \frac{k}{3} (k = 1, 2), Y

的概率密度为

f_{Y} (y) = {\begin{cases} y, & 0 ⩽ y < 1, \\ 2 - y, & 1 ⩽ y < 2, 记 Z = Y - X . 求: \\ 0, & 其他, \end{cases}

(1)

P {Z ⩽ 0 ∣ X < 2}, P {Z ⩽ 0}

;
(2)

Z

的概率密度.

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3. 设

X

与

Y

两个相互独立的随机变量, 其概率密度分别为

f_{X} (x) = {\begin{array}{rr} 1, & 0 \leq x \leq 1; \\ 0, & 其它. \end{array} f_{Y} (y) = {\begin{cases} e^{- y}, & y > 0; \\ 0, & y \leq 0 . \end{cases}

求: 随机变量

Z = X + Y

的概率密度函数.

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4. 设随机变量

X

服从参数

λ = 2

的指数分布, 证明:

Y = 1 - e^{- 2 X}

服从

(0, 1)

上的均匀分布。

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5. 设

(X, Y)

服从二维正态分布,

X \sim N (1, 9), Y \sim N (0, 16), ρ_{X Y} = - \frac{1}{2}

, 设

Z = \frac{X}{3} + \frac{Y}{2}

, 求(1)

E Z, D Z

(2)

ρ_{X Z}

(3)

X

与

Z

是否相关?

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6. 设连续型随机变量

X

的分布函数为

F (x) = A + B \arctan x (- \infty < x < + \infty)

试求: (1). 系数

A

与

B

; (2). 概率

P {- 1 < X < 1};

(3). 随机变量

X

的密度函数.

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7. 设随机变量

X \sim N (0, 1), Y = X^{2} + 1

, 试求随机变量

Y

的密度函数.

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