单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
若幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n, \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n$ 的收敛半径分别是 $R_1 、 R_2$, 则幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_n+b_n\right) x^n\left(a_n \neq-b_n\right)$ 的收敛半径是
$\text{A.}$ $R=\max \left(R_1, R_2\right)$
$\text{B.}$ $R=\min \left(R_1, R_2\right)$
$\text{C.}$ $R=R_1 R_2$
$\text{D.}$ $R=R_1+R_2$
下列级数中绝对收敛的是 ( )。
$\text{A.}$ $\sum_1^{\infty} \frac{(-1)^n}{\ln (1+n)}$
$\text{B.}$ $\sum_1^{\infty} \frac{n^3-1}{n^2+2}$
$\text{C.}$ $\sum_1^{\infty}(-1)^n \frac{2 n^2+1}{n^3-2 n+1}$
$\text{D.}$ $\sum_1^{\infty} \frac{(-1)^n n}{\sqrt{3^n}} \sin n$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
曲面 $z=x+2 y+\ln \left(\overline{1}+x^2+y^2\right)$ 在点 $(0,0,0)$ 处的切平面方程为
已知 $f(u, v)$ 存在二阶连续的偏导数，且
$$
\mathrm{d} f(1,1)=3 \mathrm{~d} u+4 \mathrm{~d} v
$$
若 $y=f\left(\cos x, 1+x^2\right)$ ，则 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{x=0}=$
设空间曲面 $y^2+2 z^2=3 x$, (1) 求曲面在点 $(1,1,-1)$ 处的切平面方程;
(2) 求曲面与 $2 x-3 y+5 z=4$ 的交线在点 $(1,1,1)$ 处的切线方程。
求椭球面 $4 x^2+y^2+z^2=1$ 在点 $\left(\frac{1}{2 \sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ 处的切平面。
将函数 $f(x)=x(4-x), x \in(0,4)$ 展开成周期为 4 的Fourier级数, 并求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 的和。
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln ^2 n}{2^n}(x-2)^{2 n}$ 的收敛半径与收敛区间。
求幂级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2-1} x^n$ 的和函数。
设 $z=(1+x y)^2 \ln (1+x y)$, 求 $z_x^{\prime}$ 。
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n(n+1)}(x+1)^{n-1}$ 的收敛域与和函数, 并求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1) 2^n}$ 的和。
$\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sin x^2 y}{(\cos x-1) \arcsin y}$ 。
设 $z=f\left(x, \frac{x}{y}\right)$ 具有二阶连续偏导数, 求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ 。
函数 $f(u)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内有二阶导数, 记 $g(x, y)=f\left(\frac{x}{y}\right)$,若 $g(x, y)$ 满足 $x^2 \frac{\partial^2 g}{\partial x^2}+x y \frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}+y^2 \frac{\partial^2 g}{\partial y^2}=1$, 且 $g(x, x)=1,\left.\frac{\partial g}{\partial x}\right|_{(x, x)}=\frac{2}{x}$, 求 $f(u)$.