解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
试问二元函数
$$
F(x, y)= \begin{cases}1 & x+y \geqslant 0 \\ 0 & x+y < 0\end{cases}
$$
能否成为某二维随机向量的联合分布函数？
设二维连续型随机向量 $(X, Y)$ 的密度函数为
$$
p(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
6 x y^2 & 0 < x < 1,0 < y < 1 \\
0 & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
（1）求 $(X, Y)$ 的联合分布函数；
（2）求 $(X, Y)$ 的边际分布函数 $F_X(x)$ 和 $F_Y(y)$ ；
（3）判断 $X$ 和 $Y$ 是否独立。
设袋中装有 3 个白球， 2 个黑球及 1 个黄球，从中任取 4 个球，其中白球数记为 $X$ ，黑球数记为 $Y$ ．求：
（1）$(X, Y)$ 的联合概率分布；
（2）$(X, Y)$ 的边际概率分布；
（3）$X$ 与 $Y$ 是否独立？
设二维随机向量 $(X, Y)$ 的联合密度函数为
$$
p(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{1}{8} x(x-y) & 0 \leqslant x \leqslant 2,|y| \leqslant x \\
0 & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
求：（1）$P(X+Y \leqslant 2)$ ；
（2）关于 $X$ 与 $Y$ 的边际密度函数；
（3）讨论 $X$ 与 $Y$ 的独立性。
设随机变量 $Y$ 服从参数为 $\lambda=1$ 的指数分布，定义随机变量 $X_1, X_2$ 为
$$
X_k=\left\{\begin{array}{ll}
0 & Y \leqslant k \\
1 & Y>k
\end{array} \quad k=1,2\right.
$$
求 $\left(X_1, X_2\right)$ 的联合概率分布．
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，$X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right), Y$ 服从 $[-\pi, \pi]$ 上的均匀分布，试求 $Z=X+Y$ 的密度函数（计算结果用标准正态分布函数 $\Phi(x)$ 来表示）。