单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)=x^{2}, 0 \leqslant x \leqslant 1$, 而
$$
S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin n \pi x,-\infty < x < +\infty,
$$
其中 $b_{n}=2 \int_{0}^{1} f(x) \sin n \pi x \mathrm{~d} x, n=1,2,3, \cdots$, 则 $S\left(-\frac{1}{2}\right)$ 等于
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $-\frac{1}{4}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$.
设幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n x^n$ 的收敛半径分别为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ 与 $\frac{1}{3}$ ，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n^2}{b_n^2} x^n$ 的收敛半径为
$\text{A.}$ 5
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{5}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{5}$
设 $a_n>0(n=1,2,3 \cdots)$ ，$S_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n,$ 则数列 $\left\{S_n\right\}$ 有界是数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛的
$\text{A.}$ 充分必要条件
$\text{B.}$ 充分非必要条件
$\text{C.}$ 必要非充分条件
$\text{D.}$ 非充分也非必要条件
已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \sqrt{n} \sin \frac{1}{n^\alpha}$ 绝对收敛，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^{2-\alpha}}$条件收敛，则
$\text{A.}$ $0 < \alpha \leq \frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2} < \alpha \leq 1$
$\text{C.}$ $1 < \alpha \leq \frac{3}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{2} < \alpha < 2$
$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{2 n+3}{(2 n+1)!}=(\quad)$.
$\text{A.}$ $\sin 1+\cos 1$
$\text{B.}$ $2 \sin 1+\cos 1$
$\text{C.}$ $2 \sin 1+2 \cos 1$
$\text{D.}$ $3 \sin 1+2 \cos 1$
设 $\left\{u_n\right\}$ 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（）
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{u_n}{n}$.
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{u_n}$.
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)$.
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n+1}^2-u_n^2\right)$.