单选题 （共 15 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)=x^{2}, 0 \leqslant x \leqslant 1$, 而
$$
S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin n \pi x,-\infty < x < +\infty,
$$
其中 $b_{n}=2 \int_{0}^{1} f(x) \sin n \pi x \mathrm{~d} x, n=1,2,3, \cdots$, 则 $S\left(-\frac{1}{2}\right)$ 等于
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $-\frac{1}{4}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$.
设幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n x^n$ 的收敛半径分别为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ 与 $\frac{1}{3}$ ，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n^2}{b_n^2} x^n$ 的收敛半径为
$\text{A.}$ 5
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{5}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{5}$
设 $a_n>0(n=1,2,3 \cdots)$ ，$S_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n,$ 则数列 $\left\{S_n\right\}$ 有界是数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛的
$\text{A.}$ 充分必要条件
$\text{B.}$ 充分非必要条件
$\text{C.}$ 必要非充分条件
$\text{D.}$ 非充分也非必要条件
已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \sqrt{n} \sin \frac{1}{n^\alpha}$ 绝对收敛，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^{2-\alpha}}$条件收敛，则
$\text{A.}$ $0 < \alpha \leq \frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2} < \alpha \leq 1$
$\text{C.}$ $1 < \alpha \leq \frac{3}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{2} < \alpha < 2$
$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{2 n+3}{(2 n+1)!}=(\quad)$.
$\text{A.}$ $\sin 1+\cos 1$
$\text{B.}$ $2 \sin 1+\cos 1$
$\text{C.}$ $2 \sin 1+2 \cos 1$
$\text{D.}$ $3 \sin 1+2 \cos 1$
设 $\left\{u_n\right\}$ 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（）
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{u_n}{n}$.
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{u_n}$.
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)$.
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n+1}^2-u_n^2\right)$.
设 $R$ 为幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径， $r$ 是实数，则
$\text{A.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n}$ 发散时， $|r| \geq R$
$\text{B.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n}$ 收敛时， $|r| \leq R$
$\text{C.}$ 当 $|r| \geq R$ 时，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n}$ 发散
$\text{D.}$ 当 $|r| \leq R$ 时，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n}$ 收敛
已知函数 $f(x)=x^2 \ln (1-x)$ ，则当 $n \geq 3$ 时， $f^{(n)}(0)=(\quad)$
$\text{A.}$ $-\frac{n!}{n-2}$
$\text{B.}$ $\frac{n!}{n-2}$
$\text{C.}$ $-\frac{(n-2)!}{n}$
$\text{D.}$ $\frac{(n-2)!}{n}$
已知数列 $\left\{a_n\right\}\left(a_n \neq 0\right)$ ，若 $\left\{a_n\right\}$ 发散，则（ ）
$\text{A.}$ $\left\{a_n+\frac{1}{a_n}\right\}$ 发散
$\text{B.}$ $\left\{a_n-\frac{1}{a_n}\right\}$ 发散
$\text{C.}$ $\left\{\mathrm{e}^{a_n}+\frac{1}{\mathrm{e}^{a_n}}\right\}$ 发散
$\text{D.}$ $\left\{\mathrm{e}^{a_n}-\frac{1}{\mathrm{e}^{a_n}}\right\}$ 发散
已知幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的和函数为 $\ln (2+x)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_{2 n}=$ ( )
$\text{A.}$ $-\frac{1}{6}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
设 $\left\{a_n\right\}$ 为正项数列, 且级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$ 收敛, 则以下级数中, 收敛的是 ( )
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$.
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n$.
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}$.
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{\sqrt{n}}$.
已知 $\frac{1}{n+1} < a_n < \frac{1}{n}(n=1,2, \cdots)$, 则下列级数收敛的个数为( )
(1) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \sqrt{a_n}$
(2) $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$
(3) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+a_n}{n}$
(4) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{\sin a_n}{a_n}\right)$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛,则下列级数绝对收敛的是 ( ).
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{u_n}{n}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{u_n^2}{n}$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n+1}-u_n\right)$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n\right)^n$
已知级数 ① $\sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{n^3 \pi}{n^2+1}$; ② $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}-\tan \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}\right)$, 则
$\text{A.}$ ①②均条件收敛
$\text{B.}$ ①条件收敛②绝对收敛
$\text{C.}$ ①绝对收敛②条件收敛
$\text{D.}$ ①②均绝对收敛
已知 $k$ 为常数, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left[\frac{1}{n}-\ln \left(1+\frac{k}{n^2}\right)\right]$
$\text{A.}$ 绝对收敛。
$\text{B.}$ 条件收敛.
$\text{C.}$ 发散。
$\text{D.}$ 敛散性与 $k$ 的取值有关.
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} e^{-n x}$ 的收敛域为 $(a,+\infty)$ ，则 $a=$
设 $f(x)$ 是周期为 2 的周期函数，且 $f(x)=1-x, x \in[0,1]$.若 $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n \pi x$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n}=$
已知 $f(x)=1+x$ ，若
$$
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n x, x \in[0, \pi]
$$
则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^2 \sin a_{2 n-1}=$
已知函数 $f(x)=\left(\mathrm{e}^x+1\right) x^2$ ，则 $f^{(5)}(1)=$
函数 $f(x)=\frac{1}{x^2}$ 展开成 $x-3$ 的幂级数为
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\cdots+\frac{2 n-1}{2^n}\right)=$
已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}0,0 \leq x \leq \frac{1}{2} \\ x^2, \frac{1}{2} \leq x \leq 1\end{array}\right.$ 的傅里叶级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n \pi x, S(x)$ 为 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n \pi x$ 的和函数, 则 $S\left(-\frac{7}{2}\right)=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin ^n x \cos x \mathrm{~d} x, n=0,1,2, \cdots$ ，求 $\sum_{n=0}^{\infty} I_n$.
将函数 $f(x)=\arctan \frac{1-2 x}{1+2 x}$ 展开成 $x$ 的幂级数，并求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2 n+1}$ 的和.
将函数 $f(x)=\frac{1}{x^2-3 x-4}$ 展开成 $x-1$ 的幂级数，并指出其收敛区间.
将函数 $f(x)=1-x^2(0 \leq x \leq \pi)$ 展开成余弦级数，并求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2}$ 的和.
若 $a_0=1, a_1=0, a_{n+1}=\frac{1}{n+1}\left(n a_n+a_{n-1}\right)$ ， $(n=1,2,3, \cdots) ， S(x)$ 为幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的和函数
(1) 证明 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径不小于 1 ；
(2) 证明 $(1-x) S^{\prime}(x)-x S(x)=0(x \in(-1,1))$ ，并求 $S(x)$ 的表达式
求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-4)^n+1}{4^n(2 n+1)} x^{2 n}$ 的收敛域及和函数 $S(x)$.