单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
在下列选择中，当 $x \rightarrow 0^{+}$时，是 $\sqrt{x}$ 的等价无穷小的是
$\text{A.}$ $1- e ^{\sqrt{x}}$
$\text{B.}$ $\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$
$\text{C.}$ $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$
$\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{x}$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+x^2\right)^2-\cos x}{\sin ^2 x}$.
计算以下极限:
(1) $\lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}$;
(2) $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3 x+2}{3 x+1}\right)^{x+5}$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{\int_0^x \frac{\ln \left(1+t^3\right)}{t} d t}=$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{(-1)^n}=$
解答题 （共 33 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算广义积分 $\int_0^1 \frac{x d x}{\left(3+x^2\right) \sqrt{1-x^2}}$
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处二阶可导, 且 $f(0)=f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)=1$. 设 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x, f(x))$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为 $u(x)$, 计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(u(x))}{f(x)}$.
计算函数 $ y=\left(\frac{x}{1+x}\right)^x $ 的一阶导数
已知等式 $\left(1-x^2\right) \frac{d^2 y}{d x^2}-x \frac{d y}{d x}+a^2 y=0$ ，对其作变量代 换 $x=\sin t$ ，计算所得 $y$ 关于 $t$ 的导数的等式.
计算极限
$$
\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}\right) .
$$
设 $f(x)=\frac{x^2-(\sin x)^2}{x^4}$.
(1) 计算 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)$;
(2) 证明: 当 $x \rightarrow \infty$ 时, $f(x)$ 是关于 $\frac{1}{x}$ 的 2 阶无穷小.
计算 $ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 \sin x+x^2 \cos \frac{1}{x}}{(1+\cos x) \ln (1+x)}$
已知函数 $f(x)$ 连续, 请讨论 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x$ 与 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) d x$ 的大小关系, 并计算定积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\ln (1+\sqrt{\sin x})-\ln (1+\sqrt{\cos x})+\sin ^3 x}{2} d x$.
计算下列极限:
(1) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_1^x\left[t^2\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{t}}-1\right)-t\right] \mathrm{d} t}{x^2 \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}$.
(2) $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)^{\frac{1}{x}}$.
计算 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-(1+2 x)^{\frac{1}{2 x}}}{\sin x}$
计算 $ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^3}$
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-e}{x}$.
计算 $\lim _{x \rightarrow 0} x \cot x$;
利用等价无穷小计算 $ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{\sin ^3 x} $
计算极限: $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{1}{n^2}+\sin \frac{3}{n^2}+\cdots+\sin \frac{2 n-1}{n^2}\right)$.
计算 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \sin 3 x}{\ln \sin 2 x}$
计算 $ \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\tan x}{\tan 3 x} $
计算 求正常数 $a, b$, 使得 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{b x-\sin x} \int_0^x \frac{ t ^2 d t}{\sqrt{a+t^2}}=3$
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\tan x}\right)$
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-\cos x^2}}{1-\cos x}$.
计算极限 $\lim _{x \rightarrow a+0} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}+\sqrt{x-a}}{\sqrt{x^2-a^2}} \quad(a \geq 0)$
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+x+x^2\right)+\ln \left(1-x+x^2\right)}{\sec x-\cos x}$
计算极限： $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin \left(\sqrt{n^2+a^2} \cdot \pi\right)$.
求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x^3}$ ．
求 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(\frac{\pi}{2}-\arctan x\right)$ ．
求 $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}(\sec x-\tan x)$ ．
求 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^x$ ．
求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-x}{x^2 \sin x}$
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^n \ln x(n>0)$;
$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}{\operatorname{arccot} x}$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+x^2\right)}{\sec x-\cos x}$;
$\lim _{x \rightarrow 0} x^2 e^{\frac{1}{x^2}}$;
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^x$;