单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)$ 的二阶导函数 $f^{\prime \prime}(x)$ 的图形如右图所示, 则曲线 $y=$ $f(x)$ 拐点个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设周期函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导, 周期为 4 , 又 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(1)-f(1-x)}{2 x}=-1$,则曲线 $y=f(x)$ 在 $x=5$ 处切线斜率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ -2
$x \rightarrow 0^{+}$时, 下列无穷小量的阶数从低到高的排序是 ( )
(1). 由 $\left\{\begin{array}{l}x=t^3 \\ y=t^2\end{array}\right.$ 确定的函数 $y=f(x)$
(2). $\ln \left(-x+\sqrt{1+x^2}\right)$
(3). $\int_0^{\sin x} \ln \left(1+\sqrt{t^2}\right) \mathrm{d} t$
(4). $\frac{1-\cos \sqrt{x}}{\sqrt[4]{x}}$
$\text{A.}$ (1)(4)(2)(3)
$\text{B.}$ (2)(4)(1)(3)
$\text{C.}$ (1)(4)(3)(2)
$\text{D.}$ (4)(2)(1)(3)
下列直线中不是曲线 $y=\sqrt{4 x^2+x} \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)$ 的渐近线的是
$\text{A.}$ $x=-\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $y=2 x \ln 2+\frac{1}{4} \ln 2+1$.
$\text{C.}$ $y=2 x \ln 2+\frac{1}{4} \ln 2$.
$\text{D.}$ $y=-2 x \ln 2-\frac{1}{4} \ln 2-1$.
设 $f(x)$ 满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+f(x) \sin 2 x}-1}{e^{x^2}-1}=1$, 则
$\text{A.}$ $f(0)=0$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)=1$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=1$
设 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在, 则 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0-\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=$.
$\text{A.}$ $f^{\prime}\left(x_0\right)$
$\text{B.}$ $-f^{\prime}\left(x_0\right)$
$\text{C.}$ $2 f^{\prime}\left(x_0\right)$
$\text{D.}$ 不存在
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{(1+x)^{\frac{1}{x}}}-(1+x)^{\frac{e}{x}}}{x^2}$
确定常数 $b$, 使得直线 $y=9 x+b$ 为曲线 $y=x^3-3 x$ 的切线;
求函数 $y=2 x-\ln (4 x)^2$ 的单调递增区间为
解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处二阶可导, 且 $f(0)=f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)=1$. 设 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x, f(x))$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为 $u(x)$, 计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(u(x))}{f(x)}$.
计算函数 $ y=\left(\frac{x}{1+x}\right)^x $ 的一阶导数
设 $f(x)$ 二阶可导, $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1$, 且 $f(1)=1$, 证明 : 存在 $\xi \in(0,1)$, 使得
$$
f^{\prime \prime}(\xi)-2 f^{\prime}(\xi)=-2 \text {. }
$$
设 $f(x)$ 有二阶连续导数, 在 $x=0$ 的去心邻域内 $f(x) \neq 0, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0, \lim _{x \rightarrow 0}\left[1+x+\frac{f(x)}{x}\right]^{\frac{1}{x}}=e^3$,求 $f^{\prime \prime}(0)$ 及 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[1+\frac{f(x)}{x}\right]^{\frac{1}{x}}$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x \cdot \tan x}\right)$.
对函数 $e^{x^2}$ 在 $[0, x](x>0)$ 上应用积分中值定理，有 $\int_0^x e^{t^2} d t=x e^{\theta(x) x^2}$其中 $\theta(x) \in(0,1)$ ，计算 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \theta(x)$
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\left(4 x^2-3\right)^3(3 x-2)^4}{\left(6 x^2+7\right)^5}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{4 x^2-8 x+5}+2 x+1\right)$.
设函数 $y=y(x)$ 由方程组 $\left\{\begin{array}{c}e^y+t y=e \\ x=\ln (1+\sin t)\end{array}\right.$ 所确定, 求 $\frac{d y}{d x},\left.d y\right|_{t=0}$.
$y=\arctan \frac{x+1}{x-1}$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0} x^2 e^{\frac{1}{x^2}}$;