单选题 （共 11 题 ），每题只有一个选项正确
微分方程 $x y^{\prime}-y \ln y=0$ 的通解是
$\text{A.}$ $y=e^{c x}$
$\text{B.}$ $y=c x$
$\text{C.}$ $y=e^x+c$
$\text{D.}$ $y=e^x+c x$
设方程 $\ln x=k x$ 只有两个正实根, 则 $k$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $(-\infty, e)$
$\text{B.}$ $\left(0, \frac{1}{\mathrm{e}}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{1}{\mathrm{e}},+\infty\right)$
$\text{D.}$ $\left(\frac{1}{\mathrm{e}}, 1\right)$
微分方程 $y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=x \mathrm{e}^{2 x}$ 的特解 $y^*$ 的形式可设为
$\text{A.}$ $\operatorname{axe}^{2 x}$
$\text{B.}$ $(a x+b) \mathrm{e}^{2 x}$
$\text{C.}$ $(a x+b) x \mathrm{e}^{2 x}$
$\text{D.}$ $a x^2 \mathrm{e}^{2 x}$
已知 $y=\frac{x}{\ln x}$ 是微分方程 $y^{\prime}=\frac{y}{x}+\varphi\left(\frac{x}{y}\right)$ 的解, 则 $\varphi\left(\frac{x}{y}\right)$ 的表达式为
$\text{A.}$ $-\frac{y^2}{x^2}$.
$\text{B.}$ $\frac{y^2}{x^2}$.
$\text{C.}$ $-\frac{x^2}{y^2}$.
$\text{D.}$ $\frac{x^2}{y^2}$.
微分方程 $y^{\prime \prime}+y=0$ 的通解是
$\text{A.}$ $y=C_1 \cos x+C_2 \sin x$
$\text{B.}$ $y=C_1 \mathrm{e}^x+C_2 \mathrm{e}^{-x}$
$\text{C.}$ $y=\left(C_1+C_2 x\right) \mathrm{e}^x$
$\text{D.}$ $y=C_1 \mathrm{e}^x+C_2$
设 $y=y(x)$ 满足条件
$$
\begin{aligned}
& y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0, \\
& y(0)=2, y^{\prime}(0)=0,
\end{aligned}
$$
则 $\int_0^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x=$.
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ -2
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ -1
常微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{y^2}{x+y^2}$ 的类型属于
$\text{A.}$ 可分离变量的微分方程
$\text{B.}$ 齐次方程
$\text{C.}$ 关于 $y=y(x)$ 的一阶线性微分方程
$\text{D.}$ 关于 $x=x(y)$ 的一阶线性微分方程
微分方程 $\frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}+\tan \frac{y}{x}$ 的通解是
$\text{A.}$ $\frac{1}{\sin \frac{y}{x}}=c x$
$\text{B.}$ $\sin \frac{y}{x}=x+c$
$\text{C.}$ $\sin \frac{y}{x}=c x$
$\text{D.}$ $\sin \frac{x}{y}=c x$
微分方程 $y^{\prime \prime}+4 y=x \cos ^2 x$ 的特解形式为
$\text{A.}$ $a x+b+(A x+B) \cos 2 x+(C x+D) \sin 2 x$
$\text{B.}$ $x(a x+b)+(A x+B) \cos 2 x+(C x+D) \sin 2 x$
$\text{C.}$ $a x+b+x(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$
$\text{D.}$ $a x+b+x[(A x+B) \cos 2 x+(C x+D) \sin 2 x]$
设函数 $y=y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$ 的解, 在 $x=0$ 处 $y(x)$ 取得极值 4 , 且 $y^{\prime \prime}(0)=$ 0 , 则 $y(x)=$
$\text{A.}$ $\left(3-2 x^2\right) \mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}$.
$\text{B.}$ $3 \mathrm{e}^x+x \mathrm{e}^{-x}$.
$\text{C.}$ $(3-2 x) \mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}$.
$\text{D.}$ $\mathrm{e}^x+(3-2 x) \mathrm{e}^{-x}$.
函数 $y=\frac{x^3}{6}+C x$ ( $C$ 为任意常数) 是微分方程 $\frac{d^2 y}{d x^2}=x$ 的
$\text{A.}$ 通解
$\text{B.}$ 特解
$\text{C.}$ 不是解
$\text{D.}$ 是解，但既非通解，又非特解
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
微分方程 $y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=0$ 的通解为
微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-\frac{y}{x}=-1$ 的通解为
已知二阶常系数齐次线性微分方程的一个特解为 $y=x e^x$, 则该方程为:
方程 $3 x y y^{\prime}(x)+x^2+y^2=0$ 的通解为
微分方程 $x \mathrm{~d} y+2 y \mathrm{~d} x=0$, 满足 $y_{\mid x=2}=1$ 的特解是 ________ .
微分方程 $\frac{d^2 y}{d x^2}-\frac{d y}{d x}-6 y=0$ 的通解是
解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求微分方䅣 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}=e^{2 x}$ 的通解.
求微分方程 $x y^{\prime}+y-\mathrm{e}^x=0, y(2)=1$ 的特解.
求微分方程 $\tan x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-y=5$ 的通解.
求微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=10 \sin x$ 的通解.
求常微分方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=\mathrm{e}^x$ 的通解
求微分方程 $y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=x e^{2 x}$ 的通解
解方程 $y^{\prime}-\frac{2}{x} y=2 x^2$
求微分方程 $x y^{\prime}+y-\mathrm{e}^x=0, y(2)=1$ 的特解.
求微分方程 $\frac{d y}{d x}=\frac{2 y}{6 x-y^2}$ 的通解.
求 $\frac{ d y}{d x}=2 x y$ 的通解.
求 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=0$ 的通解.