单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
若连续函数 $f(x)$ 满足关系式 $f(x)=\int_0^{2 x} f\left(\frac{t}{2}\right) d t+\ln 2$, 则 $f(x)$ 等于
$\text{A.}$ $e ^x \ln 2$.
$\text{B.}$ $e ^{2 x} \ln 2$.
$\text{C.}$ $e ^x+\ln 2$.
$\text{D.}$ $e ^{2 x}+\ln 2$.
设 $y_1, y_2$ 是一阶线性非齐次微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 的两个特解, 若常数 $\lambda, \mu$使 $\lambda y_1+\mu y_2$ 是该方程的解， $\lambda y_1-\mu y_2$ 是对应的齐次方程的解，则
$\text{A.}$ $\lambda=\frac{1}{2}, \mu=\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $\lambda=-\frac{1}{2}, \mu=-\frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{1}{3}$.
$\text{D.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{2}{3}$.
函数 $y=C_1 e ^x+C_2 e ^{-2 x}+x e ^x$ 满足的一个微分方程是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 x e ^x$.
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 e ^x$.
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 x e ^x$.
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 e ^x$.
微分方程 $y^{\prime \prime}+y=x^2+1+\sin x$ 的特解形式可设为
$\text{A.}$ $y^*=a x^2+b x+c+x(A \sin x+B \cos x)$.
$\text{B.}$ $y^*=x\left(a x^2+b x+c+A \sin x+B \cos x\right)$.
$\text{C.}$ $y^*=a x^2+b x+c+A \sin x$.
$\text{D.}$ $y^*=a x^2+b x+c+A \cos x$.
. 微分方程 $y^{\prime \prime}-y= e ^x+1$ 的一个特解应具有形式 (式中 $a, b$ 为常数)
$\text{A.}$ $a e ^x+b$.
$\text{B.}$ $a x e ^x+b$.
$\text{C.}$ $a e ^x+b x$.
$\text{D.}$ $a x e ^x+bx$.
在下列微分方程中, 以 $y=C_1 e ^x+C_2 \cos 2 x+C_3 \sin 2 x\left(C_1, C_2, C_3\right.$ 为任意常数）为通解的是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-4 y=0$.
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0$.
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0$.
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-4 y=0$.
具有特解 $y_1= e ^{-x}, y_2=2 x e ^{-x}, y_3=3 e ^x$ 的 3 阶常系数齐次线性微分方程是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=0$.
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime \prime}-6 y^{\prime \prime}+11 y^{\prime}-6 y=0$.
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=0$.
下列方程中， ________ 是齐次方程。
$\text{A.}$ $\frac{d y}{y^2-2 x y}=\frac{d x}{x^2-x y+y^2}$
$\text{B.}$ $y^{\prime}=\frac{1}{x-y^2}$
$\text{C.}$ $(2 x-y+3) d y=(x-2 y+1) d x$
$\text{D.}$ $\frac{x}{2+y} d y=\frac{y}{2+x} d x$
若函数 $y=x e^x$ 是方程 $F\left(x, y, y^{\prime}\right)=0$ 解, 则 $y=x e^x+C$ (C为任意常数)
$\text{A.}$ 是 $F(x, y, y)=0$ 的通解
$\text{B.}$ 是 $F\left(x, y, y^{\prime}\right)=0$ 的特解
$\text{C.}$ 不是 $F(x, y, y)=0$ 的通解
$\text{D.}$ 不能确定是否为 $F\left(x, y, y^{\prime}\right)=0$ 的解
设 $k$ 为任意常数, 微分方程 $y^{\prime}=2 x \tan y$ 的通解是
$\text{A.}$ $-\ln \sin y=x^2+k$
$\text{B.}$ $\quad \sin y=k e^{z^2} \quad(k \neq 0)$
$\text{C.}$ $\ln \sin y=k x^2$
$\text{D.}$ $\ln k \sin y=x^2(k>0)$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $y=\mathrm{e}^{-x}(1+2 x)+3 \mathrm{e}^x$ 是线性常系数微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=A \mathrm{e}^{-x}$ 的特解, 则常数 $A=$
方程 $3 x y y^{\prime}(x)+x^2+y^2=0$ 的通解为
设 $a, b \in R$ 且 $a>0$ ，如果对任意 $x \in R$ ，可微函数 $f(x)$ 满足
$$
f(x)=a f^{\prime}(-x)+b,
$$
则满足条件的所有 $f(x)$ 的表达式为
微分方程 $y^{\prime}=\frac{y(1-x)}{x}$ 的通解是
微分方程初值问题 $\left\{\begin{array}{l}\left(1+e^x\right) y y^{\prime}=e^x \\ y(0)=\sqrt{2 \ln 2}\end{array}\right.$ 的解为 $y(x)=$
微分方程 $x^2 y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-4 y=0$ 的通解为
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
解方程 $x d y+2 y d x=0,\left.y\right|_{x=2}=1$ ．
$\frac{d y}{d x}-y \tan x=\sec x,\left.\quad y\right|_{x=0}=0$ ；
$y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+13 y=0$ ；
$4 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+y=0,\left.y\right|_{x=0}=2,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=0$ ；
$y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+29 y=0,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=15$
$2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=2 e^x$ ；
$y^{\prime \prime}+a^2 y=e^x$ ；
$x y^{\prime}+y=2 \sqrt{x y}$
$x y^{\prime} \ln x+y=a x(\ln x+1)$
$y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=\sin 2 x$